Волшебного универсального способа нет. Выбирайте тот, который подходит в конкретной ситуации с учетом ограничений.

-=Профилактика=-

Всегда проще не допускать проблему, нежели её решать. Поэтому прежде чем крутить что-то, удостоверьтесь:

- Бита в шлице сидит плотно, и площадь контакта максимальна. И вы не перепутали крестовые шлицы PH и PZ и JIS (особенно если техника японская - там может быть крестовой шлиц JIS внешне очень похожий на PH. Шлиц JIS имеет точку в одном из секторов.).

- Бита имеет точную геометрию и не имеет разбитых граней.

- Зев гаечного ключа не разогнут, и зазора с гайкой у него нет. Предпочтительнее использовать накидные гаечные ключи с шестигранным отверстием, а не 12-гранником, у шестигранника площадь контакта выше.

- Шлицевая отвертка имеет радиусную заточку (hollow ground), а не две грани под скос (см. картинку):

Если вы попытаетесь открутить хорошо прикипевший крепеж инструментом, который в шлице болтается или не обхватывает наружный шестигранник полностью - то шансы сорвать грани при приложении усилия резко возрастают.

-=Уменьшаем трение=-

У железа есть одна очень паршивая особенность - ржавчина расширяется в объёме, причем усилие таково, что может разрывать бетон, что наглядно видно на этом фото из википедии:

Представляете как крепко ржавчина может держать болт за резьбу? В таких случаях рычаг побольше приведет только к оторванной головке болта. Для облегчения откручивания в такой ситуации используют проникающую смазку (гуглить "penetrating oil"). Общее название таких составов - "жидкий ключ" - это и WD-40 и ее аналоги, например "Валера" отечественного производства (@VMPAUTO,  может напишете для пикабу популярных статей?) Смысл этих составов в том, что они проникают в зазор резьбы и облегчают скольжение. Если вы находитесь на необитаемом острове, то аналог проникающей смазки можно сделать смешав легкий растворитель (керосин, бензин и т.д.) с маслом (моторное, трансмиссионное и т.д.). Такая смесь будет хуже специально разработанного химиками состава, но лучше чем совсем ничего. При работе с проникающими смазками помним, что некоторые составы разъедают краску и вызывают набухание резинок, портят некоторые пластики. Проникающие смазки любят температуру (при +60С они работают лучше, чем при +5С) и время, лучше залить и оставить откисать на ночь.

Прежде чем прикладывать усилия к тому, что не откручивается - примените проникающую смазку.

-=Softcore=-

Используйте ударный инструмент. Удар разрушает частички ржавчины и позволяет "стронуть" крепеж, особенно если предварительно нанесена проникающая смазка. Просто увеличивать момент добавляя рычаг не так эффективно, как использование удара.  На фото компактный пневматический гайковерт для нежного откручивания закисших болтов и гаек:

Используйте инструмент профилем superlock. Недостаток шестигранника - при наличии небольшого зазора, шестигранный инструмент прикладывает усилие за вершины головки. Профиль superlock же давит на головку ближе к центру граней, поэтому вероятность сорвать  грани снижается.

Тепловой шок. Если кратковременно нагреть болт или гайку до красного каления, то после остывания ее будет гораздо проще отвернуть (особенно если побрызгать на остывающую резьбу проникающей смазкой).  Нагревать можно как газовыми горелками, так и токами высокой частоты. Но важно помнить, что нагрев и охлаждение меняет внутреннюю структуру металла, происходит отпуск и твердость снижается, метод неприемлем, если деталь, куда вкручен крепеж не переносит нагрев.

Также нагрев необходим, если крепеж был завернут с фиксатором резьбы. Для нагрева крепежа токами высокой частоты выпускают специальные нагреватели:

Такое решение предпочтительнее для регулярного использования - нет открытого пламени, нет хранения емкостей с газом - пожаробезопасность только улучшается.

Увеличиваем трение

Многие видели в подборках "лайфхаков" хипстерский способ отворачивания разбитых винтов с резинкой - между битой и шлицем зажимается тонкий слой резины (воздушный шарик, резинка для денег, кусок велосипедной камеры, бинт Мартенса и т.д.). Резина увеличивает трение, благодаря чему биту из шлица при вращении выдавливает гораздо меньше. Плюс способа - он простой и не оставляет следов. Минус - срабатывает крайне редко.

Более мощным вариантом будет использование специальной пасты (Anti cam-out fluid). Она содержит частички абразива, который тверже и материала винта, и материала биты, поэтому входят в них как в масло и обеспечивают передачу крутящего момента. Этих паст довольно много -  SCREW GRAB, schrauben doktor, Liqui Moly Schauben grip, и отечественная Фикс. В крайнем случае можно даже использовать притирочную пасту для клапанов. Плюс - иногда работает, особенно с сорванным крепежом в углублениях. Минус - портит биту.

Похожий способ - использование клея: бита (отвертка) просто приклеивается к тому, что осталось от шлица при помощи капельки эпоксидки, позволяя передать крутящий момент в те выступы, что остались. Важно тщательно обезжирить поверхности перед склейкой, использовать клей с низкой текучестью, что бы не приклеить лишнее (мне нравится консистенция poxipol). Полный набор прочности клея может занять сутки.  Способ работает крайне редко, занимает много времени, но может сработать например с шлицем keyrex.

Инструмент принуждения

Для выворачивания one-way разработаны специальные биты, например https://www.losspreventionfasteners.com/store/products/one-way-screw-removal-tool/

Для выворачивания всего подряд придуманы отвертки с короной зубцов. Обычно выпускаются маленьких размеров - для ремонта часов и миниатюрной техники, например:

Для отворачивания закисшего крепежа изобретена ударная отвертка (impact screwdriver). Это отвертка, которая имеет механизм, который преобразует усилие удара в усилие вращения. Если заменить биту в такой отвертке на зубило, то получается инструмент для откручивания винтов с сорванным шлицем. Вот очень наглядное видео от японского производителя:

Помимо зубила бывают специальные биты с заточкой для левого вращения, недо-сверло, недо-экстрактор:

При наличии большого количества терпения и возможности заточки керна - можно поворачивать головку винта нанося удары керном по касательной к головке, заставляя ее поворачиваться.

-=Hardcore. Вгрызаемся=-

Если позволяет пространство, то за головку болта можно ухватиться раздвижными клещами или газовым ключом. (а также любым похожим зубастым инструментом) Зубы на инструменте часто имеют направление, поэтому откручивать нужно конкретной стороной. В отличии от плоскогубцев, усилие клещами развивается больше, а зубчики впиваются снимая реальную стружку. Газовый ключ так вообще предназначен крутить круглые трубы)

Для головок маленьких винтов есть специальные screw pliers, например японские "Engineer Neji-saurus RX PZ-59" - это плоскогубцы, которые имеют насечку, облегчающие захват головки винта в торец. И чем  точнее и острее будет форма инструмента - там выше шанс открутить. Модели  Pz-56, Pz-55 миниатюрнее, а Pz-57 для совсем маленьких головок. Если что-то подобное найдете на али - дайте ссылки в комментариях.

Гайколом. (или гайкокол, гайкорез, гайкоруб) Этот инструмент при помощи винта и клиновидного ножа просто разрезает гайку по радиусу. Можно использовать в труднодоступных местах. Есть как простые приспособления, где нож надвигается вращением винта, так и гидравлические, способные щелкать гайки как семечки.

Специальные головки для поврежденного крепежа (bolt extractor). За счет канавок с левым вращением, такая головка при откручивании болта вгрызается в то, что осталось и выворачивает болт. Работает в труднодоступных местах и углублениях.

Экстракторы. Изготавливается из закаленной стали и обычно имеет коническую левую резьбу. Болт предварительно засверливается, и в него вворачивается экстрактор. Резьба на инструменте вгрызается в тело болта и позволяет его вывернуть.  Обычно размер экстрактора начинается для крепежа крупнее М4, но у японцев есть вариант и для М2.5 (например http://www.koyo-industries.jp/product/anex/Broken_Screw_Extractor.html) Экстракторы есть как длинные - они заглубляются в тело болта, так и короткие - специально для головок внутреннего шестигранника. Также есть прямые экстракторы (https://www.irwin.com/tools/browse/screw-bolt-extractors/straight-flute-screw-extractors), на необитаемом острове можно просверлить винт, и забить в  него переточенный метчик/напильник или даже головку torx, и вращать тело винта через такой эрзац-инструмент. Но если вам жалко время - лучше сразу купить специализированный инструмент.

Нарезание шлица. Раньше для этих целей использовалась специальная пила без развода зубьев "шлицовка". Сейчас все повально нарезают прямой шлиц диском болгарки/дремеля. Нарезание шлица - простой и эффективный способ, но есть опасность разломить головку пополам. Используйте плоскую отвертку точного размера, и желательно с заточкой hollow ground.

Сварка. Идея простая - просто приварить к сорванному крепежу гайку, и отвернуть.  Способ работает если у вас достаточно свободного места вокруг и крепеж изготовлен из сплава, который хорошо варится. Для защиты детали перед сваркой подложите шайбу.

Метчики и сверла

Это отдельная боль, поскольку как удалить металлический инструмент, который твердый настолько, что сам предназначен для резки металла? Особенно "весело" в производстве - представляете как обидно сломать метчик в огромной детали за 100 000 руб? Поэтому я выделил метчики отдельно.

Специальный инструмент для выворачивания метчиков - имеет три зубчика, которые зацепляются за углубления в метчике (у него несколько лезвий, поэтому между отверстием и метчиком всегда есть зазоры) Гуглить "Broken tap extractor".

Выкрашивание зубилом. Метчики твердые и хрупкие - регулярно затачиваемым острым зубилом можно выламывать метчик по кусочкам, пока он не будет полностью разрушен.

Высверливание специальным твердосплавным сверлом. Твердые сплавы хрупкие, поэтому сверло больше напоминает пруток с трехгранным наконечником, чем привычное спиральное сверло. Работать таким инструментом лучше при помощи станка.

-=Если ничего не помогло. Химия. =-Тут бы наверное @CHUVASCH мог бы снять видеоролик, а лучше бы накатал пост. Если материал винта и основы, куда он вкручен отличается, то можно подобрать состав, который растворит винт, но не тронет деталь.

Этот раздел будет сделан отдельным постом, когда кончится самоизоляция и я доберусь до нашей мастерской.

-=Электричество пыщь-пыщь.=-

Почти универсальный способ не повреждающий резьбу. Но самый дорогой по оборудованию. Хотя если вы сломали метчик в цельной детали из дорогого сплава стоимостью 1 000 000 рублей, то игра стоит свеч.

Испорченный крепеж/застрявший инструмент удаляется на прошивочном электроэрозионном станке, где при помощи электрода слой за слоем прожигается отверстие на месте застрявшего инструмента. Прелесть электроэрозионного метода в том, что безразлично, какой твердости материал - можно с легкостью прожигать как мягкие стали, так и твердую инструментальную. Принцип электроэрозионной обработке показан на этом видео:

Для удаления испорченного крепежа не нужна вся мощь и точность электроэрозионного станка, поэтому выпускаются специальные дезинтеграторы металла - устройства попроще, грубее, и главное дешевле.

При должном упорстве приспособление для электроэрозионного разрушения крепежа делается в гаражных условиях, но описание его конструкции это отдельная тема (а может даже тема отдельного поста).

Есть ряд фирм, которые оказывают услуги по удалению заломанного инструмента. Помню видел видео с американцем, который и живет оказывая лишь одну услугу - удаление сломанных метчиков и сверл, и к нему возят детали в том числе и крупные компании - так как нецелесообразно держать станок и специалиста для одной операции, даже если вы крупный завод. А видео запомнилось, потому что у американца была жуткая дикция, так как он не соизволил выплюнуть жвачку на время видеосъемок.

-=Cверлим=-

Высверливание. Обычно это последнее, к чему прибегают, так как в большинстве случаев повреждается резьба или сама деталь. Чаще всего крепеж высверливается сверлом большего диаметра, под последующее нарезание резьбы большего размера, например высверлили М6 и нарезали М8. Если увеличение диаметра резьбы неприемлемо, то просто вворачивается резьбовая втулка - переходник ("threaded insert"), и если не нарушена соосность, то для сопрягаемых деталей ничего не меняется. При высверливании крепежа в глубоких колодцах используйте алюминиевую трубку для защиты стенок колодца. Сверло желательно максимально укоротить для жесткости, и про центровочные сверла не забываем. Использование сверлильного станка настоятельно рекомендуется. Использование левого сверла предпочтительно - есть шанс что после определенной глубины сверления сверло подцепит остатки и вывернет заломанный крепеж.

Если вы пытаетесь вывернуть винт милипусерного размера - например М1,  то экстрактор на такой размер вам не найти. Крепеж просто высверливается меньшим диаметром, в отверстие вгоняется заточенная трехгранником игла (или колизвар) и винт отворачивается. Сверлить такой диаметр нужно вручную при помощи приспособления, или на очень хорошем станке.

А так можно было?

Если свернуло голову в деревянном изделии, то шуруп можно высверлить корончатым сверлом или даже просто трубочкой с зубами, и затем извлекаем получившуюся пробку с шурупом в центре. В отверстие забиваем  пробку с клеем.

=====================================================

Это все способы, которые я знаю. Если я  про какой-то не написал - пишите в комментариях, пусть будет самая всеобъемлющая инструкция в рунете.

И я снова упёрся в ограничения пикабу на размер поста. Не влезла последняя картинка, при том, что я специально текстовые блоки комбинировал для экономии. @admin, когда уже на пикабу можно будет писать нормальные лонгриды? 51 блок это мало!