MathNotForYou

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Каждый, я думаю, хоть раз в жизни слышал о золотом сечении и числе Фидия 1,618 - божественной пропорции, математическом выражении прекрасного, эстетическом идеале. В одной из книг я встретил занимательное утверждение, будто бы и размеры банковских карт также рассчитаны, исходя из этого завораживающего глаз отношения.

При отношении сторон прямоугольника, равном Ф=1,618, он называется "золотым".

Как говорится: "доверяй, но проверяй". Именно поэтому я сел и измерил размеры самых различных банковских и скидочных карт, оказавшихся у меня пользовании. Разберемся же: чья карта больше всех соответствует стандартам красоты? Поехали!

ВНИМАНИЕ! ПРОШУ ОТНОСИТСЯ К МОИМ РАССУЖДЕНИЯМ С ЮМОРОМ И НЕ ВОСПРИНИМАТЬ КАК РЕКЛАМУ!

Из измерительных инструментов у меня имелись две линейки (пластиковая и деревянная), поэтому, значения длины и ширины, приведенные в таблице, усреднены по результатам двух измерений:

Таким образом, гипотеза о близости геометрических размеров банковских и иных карт к "золотой пропорции" подтвердилась. Наилучших результатов с большим отрывом достигли карты "Тинькофф" и "Сударь". В конце списка так же с большим отрывом карты "Билла" и "Метро".

Больше интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"

Самым известным для способом получения простых чисел является "решето Эратосфена". Сегодня я подготовил для Вас значительно менее известный, но поистине великолепный способ, который принадлежит перу ныне здравствующего Юрия Владимировича Матиясевича - советского и российского академика, перечисление регалий которого займет несколько страниц.

Способ нахождения простых чисел - чисто геометрический. На первом чертеже я покажу и опишу конечный результат, а на втором и третьем покажу простое доказательство, которое поймет любой школьник:

Начертим обычную параболу y=x^2. Не обращайте внимания, что и сверху и снизу числа положительные, это неважно в данном случае. Соединим каждую точку на ветви сверху со всеми точками на нижней ветви. Оказывается, что точки, в которых эти линии никогда не пересекут горизонтальную ось соответствуют простым числам - 5,7,11,13,17,19 и т.д. Такой способ и называется решетом Матиясевича-Стечкина.

Формализуем нашу задачу. Обозначим координаты точек на разных ветвях параболы буквами а и с. Чтобы доказать, что расстояние на рисунке равно ас, необходимо построить уравнение прямой, проходящей через две точки (привет, 7 класс!) и в нём положить х=0

Это мы делаем легко и непринужденно. Получается, что любой отрезок, соединяющий две точки А и С, лежащие на противоположных ветвях параболы, пересекает ось у в точке с координатой (0, ас):

Тут и открывается загадка "просеивания" простых чисел, ведь они не являются произведением никаких двух чисел, кроме себя и единицы. Как Вам способ? По-моему, очень красивый, а между тем, про него даже отсутствует страница в Википедии! Спасибо за внимание!

Больше интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу Вам рассказать одну занимательную историю из юридической практики, когда от теоремы Пифагора буквально зависел достаточно большой срок заключения. Перенесемся же в Нью-Йорк начала 21 века. Поехали!

В марте 2005 года в Нью-Йорке на пересечении 40-й Западной улицы и 8-й авеню в Манхэттене некто Джеймс Роббинс был задержан за сбыт не самых законных веществ.

Всё бы ничего, но оказалось, что тяжесть преступления усиливается, ведь торговля проводилась менее, чем в 1000 футах от ближайшей школы - Holy Cross School, находившейся на 43-ей западной улице.

Впрочем, это была позиция обвинения, адвокаты подозреваемого были совсем другого мнения. Взгляните на карту:

Адвокаты рассуждали так: чтобы непосредственно дойти от места задержания до входа в школу необходимо пройти по 8-й авеню, а затем свернуть на 43-ю западную - итого по карте примерно 350 метров, что в переводе в буржуйские единицы равняется примерно 1160 футов.

Прокурор же вместе с полицейским департаментом настаивал, что для измерения расстояния необходимо применить теорему Пифагора: в этом случае расстояние по прямой будет равняться чуть менее 900 футов, которые выльются в 5-6 дополнительных лет тюрьмы в связи с отягчающими обстоятельствами.

Интересно, что у американцев выражение "расстояние по прямой" звучит как "as the crow flies" - дословно, "как летит ворона".

Все доводы адвокатов, что расстояние надо измерять по реально возможному маршруту, а "вороны, дескать, наркотики не продают", не были услышаны судом присяжных из 7 человек, и Джеймс Роббинс получил более тяжкую статью.

(PROOF) - судебное решение, дело " Граждане против Джеймса Роббинса"

Это далеко не единственный случай подобного рода споров, но, в целом , американскую судебную практику можно назвать "пифагорейской", потому что такие вопросы всегда трактуются в пользу измерения расстояния по прямой. Спасибо за внимание!

Больше интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"

Сегодня хочу рассказать Вам, что такое эквивалентность. Понятие точно Вам знакомо на бытовом уровне, однако в математике оно имеет особенный и строгий смысл, который позволит Вам по иному взглянуть на вещи. Уверяю, для каждого из Вас это будет простым материалом. Предлагаю Вам прочувствовать красоту математических суждений вместе со мной. Поехали!

Объяснение максимально подробное, поэтому может показаться затянутым.

Эквивалентный - "равноценный, равнозначный, равносильный, находящийся в равных отношениях". Именно так переводится это понятие в основных толковых словарях. Однако, в математике этого недостаточно. Мы хоть и любим эфемерную бесконечность, но к понятиям "жизненным" подходим со строгим инструментарием.

Вот и в данном случае, чтобы понять, что такое эквивалентность в математике, необходимо разобраться со словом "отношение", которое в теории множеств имеет конкретный смысл.

Говорят, что на множестве А задано отношение R, если про каждую пару элементов а и b множества А можно сказать: "a R b" - верно или "a R b" - неверно.

Под символом R, строго говоря, может скрываться всё, что угодно. Самое известное каждому со школы - это строгое отношение порядка, которое обозначается "<" или ">". Как мы его применяем?

Например, на множестве натуральных чисел {1,2,3,4...} уже для каждой пары (1,2), (2,4) известно, истинно или нет утверждение "1<2" или "2<4", т.е. задано отношение порядка

Какие отношения бывают еще ? Например, отношение равенства, отношение параллельности, конгруэнтности, отношение равенства остатков от деления на n и т.д, отношение дружбы, отцовства, брака и т.д.. Несмотря на такой разброс, каждое отношение можно формальным образом охарактеризовать, проанализировав его свойства:

1. Рефлексивность. Если "a R a" верно для всех a, то отношение R - рефлексивное. Первый пример: "а>a" - неверно, значит строгое отношение порядка - не рефлексивное. Второй пример: в геометрии считается, что каждая прямая параллельна самой себе, т.е. "a II a" - верно, а значит параллельность - рефлексивное отношение.

2. Симметричность. Если "a R b" - верно, то и "b R a" - тоже верно. Первый пример: из "a<b", не следует, что "b<a" , значит строгое отношение порядка не симметрично. Второй пример: из того, что "a = b" следует, что "b=a", значит отношение равенства - симметрично.

3. Транзитивность. Если "a R b" и "b R c", то "a R c" - верно. Первый пример: отношение отцовства (не смущайтесь примеру, я же говорил, что может быть что угодно, в этом и прелесть). Из того, что "а ОТЕЦ b" и "b ОТЕЦ с" не следует, что "a ОТЕЦ c". Второй пример: отношение родства: из того, что "а РОДСТВЕННИК b" и "b РОДСТВЕННИК с" следует, что "a РОДСТВЕННИК c", а значит такое отношение транзитивно. Кстати, в общем случае а,b и c могут быть одними и теми же элементами.

На этом классификация не заканчивается, но мы уже подошли к тому моменту, когда можем ввести понятие отношения эквивалентности.

Итак, если бинарное (между двумя элементами множества) отношение R рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью.

Примерами отношений эквивалентности могут служить "равенство", отношение подобия в геометрии (~), отношение параллельности прямых, сравнение по модулю и т.д. Пример для последнего:

То же самое легко проверяется для отношений равенства, подобия и т.д. В результате проверки могут появиться и другие отношения, например, толерантности (симметрия+рефлексия-транзитивность)

Что же значит эквивалентность в жизни?

А, например, то что настоящая дружба - это отношение эквивалентности.

1. Очевидно, что Вы дружны сами с собой, т.е. с рефлексией всё в порядке.

2. Если у Вас есть друг, то хорошо бы, чтобы и Вы были его другом: симметричность тоже присутствует!

3. Если Вы дружите с кем-то и он дружит с Вами (п.2), то из этого следует, что Вы дружите с собой (п.1) - транзитивность тоже в наличии!

Важнейшее свойство каждого отношения эквивалентности в том, что с помощью него можно построить фактормножество - усеченный вариант исходного множества, будто "склеенный" из похожих друг на друга элементов. В ряде случаев на практике, например, в маркетинге, это оказывается чрезвычайно важным для разбиения аудитории на непересекающиеся классы со схожими интересами. Об этом поговорим в отдельном материале.

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить о замечательном числе 42, которое в массовую культуру проникло благодаря роману Дугласа Адамса "Автостопом по галактике". Согласно книге, созданный разумными расами суперкомпьютер "Думатель", после 7,5 млн. лет раздумий над ответом на "Главный вопрос жизни, вселенной и всего такого", выдал лишь число 42. Хотя, по заверению автора, всё это было лишь шуткой, число 42 и и без этого достойно отдельного упоминания. Поехали!

В реальной физике число 42 удивительным образом появляется при измерении величины отталкивания двух электронов (у них же есть заряд) и их притяжения (ведь у них есть масса). Их отношение равняется 10 в минус 42 степени. Кстати, нобелевский лауреат по физике Ричард Фейнман считал число 42 "естественной константой, в которой таятся какие-то глубинные свойства природы".

Для того, чтобы понять значимость числа 42, необходимо обратиться к истории математики, а именно, к диофантовым уравнениям - таким уравнениям, в которых решения могут быть только целые числа. Одной из нерешенных задач является разложение чисел на сумму трех кубов:

Математики, начиная с 20 века вычислили разложение всех целых чисел до 100, кроме одного. И только в 2019 году они всё же справились с числом 42. Его разложение имеет вид:

Кроме того, числу 42 придают мистическую окраску, связывая его то с числом смертных грехов в древнеегипетской книге мертвых, то с длительностью царствования Антихриста на Земле. По мне - бред сивой кобылы, потому что я люблю науку, а не мистику и религию. Спасибо за внимание!