MathNotForYou

Сегодня хочу рассказать Вам, что такое эквивалентность. Понятие точно Вам знакомо на бытовом уровне, однако в математике оно имеет особенный и строгий смысл, который позволит Вам по иному взглянуть на вещи. Уверяю, для каждого из Вас это будет простым материалом. Предлагаю Вам прочувствовать красоту математических суждений вместе со мной. Поехали!

Объяснение максимально подробное, поэтому может показаться затянутым.

Эквивалентный - "равноценный, равнозначный, равносильный, находящийся в равных отношениях". Именно так переводится это понятие в основных толковых словарях. Однако, в математике этого недостаточно. Мы хоть и любим эфемерную бесконечность, но к понятиям "жизненным" подходим со строгим инструментарием.

Вот и в данном случае, чтобы понять, что такое эквивалентность в математике, необходимо разобраться со словом "отношение", которое в теории множеств имеет конкретный смысл.

Говорят, что на множестве А задано отношение R, если про каждую пару элементов а и b множества А можно сказать: "a R b" - верно или "a R b" - неверно.

Под символом R, строго говоря, может скрываться всё, что угодно. Самое известное каждому со школы - это строгое отношение порядка, которое обозначается "<" или ">". Как мы его применяем?

Например, на множестве натуральных чисел {1,2,3,4...} уже для каждой пары (1,2), (2,4) известно, истинно или нет утверждение "1<2" или "2<4", т.е. задано отношение порядка

Какие отношения бывают еще ? Например, отношение равенства, отношение параллельности, конгруэнтности, отношение равенства остатков от деления на n и т.д, отношение дружбы, отцовства, брака и т.д.. Несмотря на такой разброс, каждое отношение можно формальным образом охарактеризовать, проанализировав его свойства:

1. Рефлексивность. Если "a R a" верно для всех a, то отношение R - рефлексивное. Первый пример: "а>a" - неверно, значит строгое отношение порядка - не рефлексивное. Второй пример: в геометрии считается, что каждая прямая параллельна самой себе, т.е. "a II a" - верно, а значит параллельность - рефлексивное отношение.

2. Симметричность. Если "a R b" - верно, то и "b R a" - тоже верно. Первый пример: из "a<b", не следует, что "b<a" , значит строгое отношение порядка не симметрично. Второй пример: из того, что "a = b" следует, что "b=a", значит отношение равенства - симметрично.

3. Транзитивность. Если "a R b" и "b R c", то "a R c" - верно. Первый пример: отношение отцовства (не смущайтесь примеру, я же говорил, что может быть что угодно, в этом и прелесть). Из того, что "а ОТЕЦ b" и "b ОТЕЦ с" не следует, что "a ОТЕЦ c". Второй пример: отношение родства: из того, что "а РОДСТВЕННИК b" и "b РОДСТВЕННИК с" следует, что "a РОДСТВЕННИК c", а значит такое отношение транзитивно. Кстати, в общем случае а,b и c могут быть одними и теми же элементами.

На этом классификация не заканчивается, но мы уже подошли к тому моменту, когда можем ввести понятие отношения эквивалентности.

Итак, если бинарное (между двумя элементами множества) отношение R рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью.

Примерами отношений эквивалентности могут служить "равенство", отношение подобия в геометрии (~), отношение параллельности прямых, сравнение по модулю и т.д. Пример для последнего:

То же самое легко проверяется для отношений равенства, подобия и т.д. В результате проверки могут появиться и другие отношения, например, толерантности (симметрия+рефлексия-транзитивность)

Что же значит эквивалентность в жизни?

А, например, то что настоящая дружба - это отношение эквивалентности.

1. Очевидно, что Вы дружны сами с собой, т.е. с рефлексией всё в порядке.

2. Если у Вас есть друг, то хорошо бы, чтобы и Вы были его другом: симметричность тоже присутствует!

3. Если Вы дружите с кем-то и он дружит с Вами (п.2), то из этого следует, что Вы дружите с собой (п.1) - транзитивность тоже в наличии!

Важнейшее свойство каждого отношения эквивалентности в том, что с помощью него можно построить фактормножество - усеченный вариант исходного множества, будто "склеенный" из похожих друг на друга элементов. В ряде случаев на практике, например, в маркетинге, это оказывается чрезвычайно важным для разбиения аудитории на непересекающиеся классы со схожими интересами. Об этом поговорим в отдельном материале.

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить о замечательном числе 42, которое в массовую культуру проникло благодаря роману Дугласа Адамса "Автостопом по галактике". Согласно книге, созданный разумными расами суперкомпьютер "Думатель", после 7,5 млн. лет раздумий над ответом на "Главный вопрос жизни, вселенной и всего такого", выдал лишь число 42. Хотя, по заверению автора, всё это было лишь шуткой, число 42 и и без этого достойно отдельного упоминания. Поехали!

В реальной физике число 42 удивительным образом появляется при измерении величины отталкивания двух электронов (у них же есть заряд) и их притяжения (ведь у них есть масса). Их отношение равняется 10 в минус 42 степени. Кстати, нобелевский лауреат по физике Ричард Фейнман считал число 42 "естественной константой, в которой таятся какие-то глубинные свойства природы".

Для того, чтобы понять значимость числа 42, необходимо обратиться к истории математики, а именно, к диофантовым уравнениям - таким уравнениям, в которых решения могут быть только целые числа. Одной из нерешенных задач является разложение чисел на сумму трех кубов:

Математики, начиная с 20 века вычислили разложение всех целых чисел до 100, кроме одного. И только в 2019 году они всё же справились с числом 42. Его разложение имеет вид:

Кроме того, числу 42 придают мистическую окраску, связывая его то с числом смертных грехов в древнеегипетской книге мертвых, то с длительностью царствования Антихриста на Земле. По мне - бред сивой кобылы, потому что я люблю науку, а не мистику и религию. Спасибо за внимание!

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Понятие бесконечно малого прочно вошло в обиход математического анализа еще в 18 веке, когда Готфрид Лейбниц в своих работах впервые использовал обозначение "dx". Но что он подразумевал под этим, как вообще можно определить что-то бесконечно малое?

Расскажу Вам о гениальном ходе, который перевернул стандартный математический анализ с ног на голову и стал отправным этапом для создания нового, инфинитезимального (нестандартного) анализа. Поехали!

Введение

Как можно подобраться к бесконечно малому числу? Для начала стоит произвести рекогносцировку и понять, где вообще существуют числа.

Принято говорить, что все вещественные числа образуют поле - алгебраическую структуру, на которой определен ряд математических операций, которые при их применении, не выводят результат за рамки поля. Т.е. если два числа вещественные (например, 3,23 и -1/2), то и их сумма, их произведение, их обратные и противоположные элементы - суть элементы того же поля вещественных чисел.

Данное определение не претендует на строгость, но важно для понимания сути дальнейшего изложения.

Важным свойством поля вещественных чисел является выполнимость в нём аксиомы Архимеда:

Если имеются две отрезка a и b, причем a меньше b, то взяв a некоторое количество раз можно превзойти b.

Вместо а можно взять число, например, единицу. Тогда любое вещественное число можно превзойти конечной суммой 1+1+1...+1, реализуя придуманный еще древнегреческим математиком Евдоксом метод исчерпываний.

Подходы к "бесконечной малости"

Первое определение, которое приходит на ум, когда речь идет о бесконечно малой величине - это ноль. Однако, это не так интересно, ведь нам хотелось бы найти такое число, которое ближе всех остальных к нулю на вещественной оси.

Попытавшись задать ε как некое число, меньшее любого из вещественных, мы придём к бесконечной цепочке. Ведь, при рассмотрении поля, мы можем тогда вычислить и его элемент "ε/2" и т.д., которые будут еще меньше.

Таким образом в стандартном математическом анализе, понятие бесконечно малого - это некая цепочка, последовательность, имеющая предел, но не конкретное число!

Но есть интуитивный выход, результаты которого, Вы видели в каждом учебнике физики:

Здесь мы оперируем неким бесконечно малым изменением объема газа dV - конкретным, но очень маленьким числом, близким к нулю.

С этой точки зрения бесконечно малое число можно определить диаметрально противоположно. Пусть ε - некая величина. Начнём последовательно вычислять суммы: ε+ε, ε+ε+ε, ε+ε+ε+...ε и т.д.. Если окажется, что для любой конечной суммы будет выполняться неравенство ε+ε+ε+...ε < 1, такую величину определим как актуальное бесконечно малое число.

Слово "актуальное" здесь помогает нам отделить понятия бесконечно малого, как элемента последовательности, предела функций и т.д. до бесконечно малого, которое можно "пощупать".

Отличное определение! Но постойте, этим самым мы нарушили кое-что важное, а именно аксиому Архимеда для поля вещественных чисел. Действительно, если взять отрезок длиной ε, то, сколько не укладывай его друг за другом, сумма не сможет покрыть даже отрезок единичной длины!

Что же получается? А то, что в поле вещественных чисел такого бесконечно малого ε существовать не может, ведь важнейшая аксиома для такого числа не выполняется, а значит оно не является вещественным.

Что же делают математики? Они расширяют поле вещественных чисел, добавляя в него новые элементы и получают поле уже гипервещественных чисел, в котором бесконечностями можно играть хоть и как песчинками, но вполне осязаемыми и реальными! Для этих чисел и создается новая область знаний - нестандартный (инфинитезимальный) анализ!

Читайте про гипервещественные числа на моём сайте - математика-не-для-всех.рф.
Больше математики и юмора в Telegram.

"Объяснение этого мема тривиально, поэтому оставим его как упражнение для читателя"

Больше юмора и интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"

- Как мы узнаем, кто из них на самом деле умер ?

- Для каждого эпсилон, больше нуля....

- Существует дельта, больше нуля....

Больше серьезной и не очень математики в Телеграмм - Математика не для всех