Автор, сочувствую. Вы взялись за очень сложную задачу, а именно: попытались объяснить довольно сложную вещь простым языком, без зубодробительных понятий и терминов. К сожалению, простота изложения вызывает у некоторых читателей ложное ощущение, как будто они действительно понимают, что написано.
Для ЛЛ: Доказательство, приведенное в исходном посте, менее формальное и опирается на то, что с записями вида 0.(9) можно выполнять арифметические действия так же, как если бы это были обычные числа. С другой стороны, это доказательство гораздо более наглядное и понятное, чем то что изложено ниже.
Важное замечание. Слова "последовательность" и "предел" имеют строгое значение в математическом анализе, однако полное изложение основ анализа остается за рамками этого поста. Кроме того, я буду пользоваться некоторыми фактами о последовательностях, не приводя их доказательств. Желающие могут вывести их самостоятельно или обратиться к любому учебнику математического анализа.
Прежде всего, необходимо прояснить, а что, собственно, такое это самое 0.(9) есть. Это предел следующей последовательности:
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д. (1)
Предел существует далеко не для всякой последовательности. Итак, чуть более строго вопрос о том, чему равно 0.(9) разделяется на две части:
1. Существует ли предел последовательности (1)?
2. Если предел существует, то чему он равен?
Строгое доказательство существования предела можно провести, используя теорему Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности. Я не буду его приводить здесь, чтобы не усложнять пост. Ограничимся утверждением, что у последовательности (1) предел есть.
После того, как мы доказали существование предела, мы можем обозначить его за Х. Обращаю внимание: Х это число. Теперь рассмотрим последовательность, которая получается из последовательности (1) умножением каждого ее элемента на 10:
9, 9.9, 9.99, 9.999 и т.д. (2)
Предел последовательности (2) равен 10Х.
Отбросим у последовательности (2) первый элемент - это не изменит ее предела. После этого почленно вычтем последовательность (1) из последовательности (2):
9.9 - 0.9 = 9,
9.99 - 0.99 = 9,
9.999 - 0.999 = 9, и т.д. (3)
Последовательность (3) - стационарная, она состоит только из девяток, соответственно, ее предел тоже равен 9. С другой стороны, предел последовательности (3) есть разность пределов последовательностей (2) и (1):
Итак, мы показали, что последовательность (1) имеет предел, и что этот предел равен 1. Что и требовалось доказать.
P.S. отмечу, что иногда подобные доказательства проводят в обратном порядке. Предполагают, что предел существует, находят его возможное значение, а потом строго доказывают существование.
