Трудности математического восприятия
Коммент под видео из https://youtu.be/QJC27E9bvqU, которое уже тут было.
Пните, если баян.
Коммент под видео из https://youtu.be/QJC27E9bvqU, которое уже тут было.
Пните, если баян.
Справились? Тогда попробуйте пройти нашу новую игру на внимательность. Приз — награда в профиль на Пикабу: https://pikabu.ru/link/-oD8sjtmAi
Этой статьей начинаем с Вами изучение одного из самых сложных и запутанных, но одновременно прекрасных, выверенных, наглядных и точных направлений математики - общей топологии. Название - не игра слов, к концу этой заметки Вы поймете, как математика относится ко всему роду homo sapiens. Начинаем!
Не правда ли завораживает? Какими свойствами обладает это фигура, можно ли ее построить в нашем трехмерном мире, как пройти из одной точки в другую?
Тополо́гия (от др. греч τόπος — место и λόγος — слово, учение) - наука, изучающая качественные свойства фигур не только в привычном нам трехмерном мире, но и в мирах с большим и меньшим количеством измерений (уж поверьте все вы сталкивались с ними, только может быть не догадывались).
Самый простой пример пространства меньшей размерности - это плоскость у которой размерность равна 2, подобно тому, как у прямоугольника есть ширина и длина.
Проделаем такой эксперимент: возьмем на плоскости квадрат и начнем его сжимать по краям, как бы сглаживая углы. После некоторого количества движений и выравниваний мы сможем получить круг - другую геометрическую фигуру. Процесс обратим - из этого круга мы всё так же можем получить квадрат. Значит ли это, что квадрат равен кругу, а круг квадрату? Конечно нет, но обычный человек сказал бы: "Они подобны", а тополог скажет: "Они гомеоморфны или получены гомеоморфным преобразованием".
Стрелки - направление растягивания.
Страшное слово? Как бы не так! Каждый из Вас (во всяком случае женская половина моей аудитории)за свою жизнь проводил гомеоморфные преобразования: "отщипнул тесто - сделал из него шар - раскатал в блин".
Гомеоморфное преобразование - это ни что иное, как растягивание или сжатие точек какой-либо фигуры без образования разрывов и склеек одинаковых точек. Возьмите раскатанный блин и порвите его по центру - получите негомеоморфное преообразование.
Возникает резонный вопрос, а какие свойства остаются неизменными при гомеоморфизме? Математики называют такие свойства качественными или топологическими и если мы хотим говорить о них, то должны как-то охарактеризовать эти свойства, хотя бы интуитивно-наглядно. Очередной эксперимент:
Возьмем сферу - поверхность точек, равноудаленную от другой точки, называемой центром сферы. Сфера - пуста, если наполнить сферу любым веществом (в нашем случае мягким и эластичным) получится шар. Попытаемся понять, чем "топологически" отличается сфера от шара?
1) Зададимся вопросом: как наикратчайшим образом добраться из одной точки сферы в другую, противоположную ей (например. с северного на южный полюс)? Правильно, пойти как нормальный человек по поверхности. А для шара? Теоретически мы могли бы "срезать" добрую часть путь проникнув через его центр и прошив его насквозь. Есть отличие!
Напоминаю, что по "пустоте" мы не перемещаемся, а внутри сферы - пустота.
2) Представьте, что вы решили прокатить по поверхности сферы колесо и вернуться в ту же точку. Изменится ли направление его вращения после Вашего с ним кругосветного приключения? Очевидно и для сферы и для шара, что нет.
Именно поэтому у кругосветных путешественников-автомобилистов колеса по приезду в родной город не крутятся в другую сторону
Но есть фигуры, прокатив колесо по которым и вернувшись в ту же точку мы изменим направление его вращения! Пример - широко известный лист МёбиусаЭто свойство фигур называется ориентируемость. Шар и сфера - ориентируем, а вот лист Мёбиуса - нет. Здесь отличий между шаром и сферой не выявлено.
3) Из определения следует, что под поверхностью сферы пустота. В шаре такого нет, он заполнен полностью.
Именно в третьем различии вся "соль". Что же из него следует?
Представьте, что Вы взяли комок мокрого снега и хотите придать ему идеальную форму.
Снег еще рыхлый, поэтому сжимая снег со всех сторон Вы начнете "стягивать" точки этого шара к одной из его точек - центру.
А теперь попробуйте стянуть футбольный мяч хотя бы к одной его точке. Попробуем стянуть северный (N) и южный полюса (S). Суть в том, что в предельном приближении мяч порвется в точках W и E, а разрыв, как мы помним из определения, недопустим при гомеоморфизме.
Таким образом, мы не смогли гомеоморфно стянуть сферу к какой-либо из своих точек (зато сферу мы можем вывернуть наизнанку - видео в конце статьи), а шар смогли. В этом и заключается топологическое различие между этими фигурами: шар не гомеоморфен сфере. Остается открытым вопрос: чему же тогда гомеоморфен шар и сфера? Ответ: кубу.
Со сферой всё намного интереснее. Топологи различают сферу без ручки (тогда это просто сфера) и сферу с n-ручками, где n=1,2... Например, сфера с ручкой получается с помощью гомеоморфных преобразований из тора (бублика).
Что же общего у кружки и тора? Ответ: количество дырок, и это ключевое топологическое свойство фигур. Фигуры с разным количеством дырок не могу быть гомеоморфны другу другу, не могут быть получены друг из друга посредством сжатия/растягивания. И это главный вывод нашего вводного экскурса.
Стой, стой, а что же с человеком, который - шар с ручками?
Ах да, знакомьтесь - это человек-Шар и он попал в передрягу: у него руки закреплены между собой как два кольца. Ему нужно помочь распутать руки не разрывая пальцы. Вы скажете невозможно, топологи скажут: элементарно.
Спасибо за прочтение! Материал написан лично мною и взят с канала "Математика не для всех", который да-да-да базируется на платформе Дзен. Сейчас уже вышли три материала по теории множеств ( вот 1, 2 и 3), необходимые для введения в топологию.
Оказывается, там не только чернуха и трэш, но и вполне себе интеллектуальный контент бывает. Буду рад комментариям и подпискам. На данный момент на канал подписано около 300 человек.
Квантовая механика и Общая теория относительности - две триумфальные
физические теории, возникшие в начале ХХ века, - как оказалось, не согласованы друг с
другом. Трудность возникает при применении метода, получившего название
перенормировка. Я расскажу о перенормировке на примере фотонов и гравитонов, о которых
мы уже говорили в предыдущих главах. Суть несогласованности состоит в том, что фотоны
приводят нас к перенормируемой теории (что означает: «хорошая теория»), тогда как
гравитоны приводят к неперенормируемой теории, и это фактически означает, что у нас нет
общей теории, описывающей фотоны и гравитоны.
Фотоны взаимодействуют с электрическими зарядами, но при этом сами по себе
электрически нейтральны. Например, имеющий электрический заряд электрон в атоме
водорода, перескакивая с одного энергетического уровня на другой, излучает фотон. Именно
это я имею в виду, когда говорю, что фотоны взаимодействуют с зарядами. Утверждение,
что сам фотон не имеет электрического заряда, равносильно утверждению, что свет не
проводит электричество. Если бы это было не так, то вы каждый раз получали бы удар током,
схватившись за какой-нибудь предмет, который достаточно долго пролежал на солнечном
свету. Фотоны не взаимодействуют друг с другом; они взаимодействуют только с
электрическими зарядами.
Гравитоны реагируют не на заряды, а на массу, энергию и импульс. А поскольку они
переносят энергию, то взаимодействуют и друг с другом. Может показаться, что это не
представляет особой проблемы, однако именно из-за этого мы и сталкиваемся с
трудностями. Квантовая механика учит нас, что гравитоны ведут себя и как волны, и как
частицы. Частицы гипотетически являются точечными объектами. А точечный гравитон
будет притягивать вас тем сильнее, чем ближе к нему вы окажетесь. Его гравитационное поле
может быть описано как испускание других гравитонов. Мы будем называть пробный
гравитон материнским, а испускаемые им гравитоны - дочерними. Гравитационное поле
вблизи материнского гравитона является очень сильным. А значит, его дочерние гравитоны
обладают огромными энергиями и импульсами. Это непосредственно следует из принципа
неопределенности: дочерние гравитоны наблюдаются на очень небольшом расстоянии Dх от
материнского гравитона, и поэтому, согласно соотношению неопределенностей, Dp* Dx>=h*2pi,
неопределенность их импульса, Dp, очень велика. Беда в том, что гравитоны также
чувствительны и к импульсу. Дочерние гравитоны сами будут испускать гравитоны. Весь
процесс ветвится и невероятно быстро расходится: вы не можете учесть все последствия вза-
имодействия всех гравитонов.
На самом деле нечто подобное происходит и возле электрона. Если вы попытаетесь
измерить электрическое поле очень близко к электрону, то спровоцируете его испустить
фотон с очень большим импульсом. Это кажется безобидным, потому что, как мы знаем,
фотоны не испускают другие фотоны. Беда в том, что фотон может родить электрон-
позитронную пару, которая затем испустит еще больше фотонов, которые породят новые
электроны и позитроны ... Полный бардак! Самое удивительное, что в случае с электронами и
фотонами вы, тем не менее, можете полностью описать всё множество частиц, каскадно
рождаемых друг от друга. Иногда говорят об одежде, или «шубе», из потомства, в которую
укутан электрон. Физики употребляют для описания электронного потомства термин
«виртуальные частицы». Перенормировка - это математический метод, позволяющий
отследить всю эту кашу.
Идея перенормировки состоит в том, что «голый» электрон предполагается имеющим
бесконечный заряд и бесконечную массу, но как только мы «одели» электрон, его заряд и
масса приобретают конечные значения.
Проблема с гравитонами состоит в том, что мы не в состоянии перенормировать
облако окружающих его виртуальных гравитонов. Общая теория относительности - теория
гравитации - является неперенормируемой. Это может показаться просто запутанной.
технической проблемой: остается слабый шанс, что мы просто смотрим на проблему с
неправильной стороны. Также существует еще более слабый шанс, что теория, называемая
Максимальной теориеи супергравитации, окажется перенормируемой. Однако я и
большинство струнных теоретиков уверены, что существуют фундаментальные трудности в
объединении квантовой механики и гравитации.
Теперь возьмем теорию струн. Исходное предположение, лежащее в ее основе,
заключается в том, что частицы не являются точечными. Вместо этого частицы
представляются в виде колебательных мод струны. Согласно общепринятой идее теории
.
струн, струны - это бесконечно тонкие, но имеющие конечную длину (порядка 10^-34 метра)
объекты, взаимодействующие друг с другом на манер гравитонов. «Стоп-стоп!
запротестуете вы. - Но разве в этом случае общие проблемы с облаком виртуальных частиц
- в данном случае виртуальных струн - не приведут нас к такой же невозможности
отследить весь процесс взаимодействия, как и в случае с гравитонами?» Нет. Тот факт, что
струны не являются точечными объектами, убивает описанную проблему в зародыше.
Источником трудности в случае с гравитонами является предположение, что они, в
соответствии с термином «точечная частица», имеют бесконечно малые размеры. Замена
гравитонов колеблющимися струнами сглаживает «острые углы» их взаимодействия друг с
другом. «На пальцах» это можно пояснить так: когда гравитон порождает другой
виртуальный гравитон, вы можете точно указать место и время, где это произошло. Но когда
разветвляется струна, это выглядит как ответвление водопроводной трубы.
В месте ветвления нет точки, в которой происходит излом, У -образная фигура,
иллюстрирующая этот процесс, выглядит гладким непрерывным отрезком трубы, только
необычной формы. Все это приводит к тому, что деление струны оказывается более
«нежным» процессом, нежели деление частицы. Физики говорят, что струны
взаимодействуют по своей природе «мягко», в то время как частицы взаимодействуют по
своей природе «жестко». Именно эта мягкость и обеспечивает лучшее поведение теории
струн, чем общей теории относительности, в отношении применимости квантово-
механического описания.
Подписываемся на ютуб канал, скоро будет видео о виртуальных частицах, и, теории струн : https://www.youtube.com/channel/UCc4n-yzBspchaU35WjrL1jw?vie...
Такую задачу поставил Little.Bit пикабушникам. И на его призыв откликнулись PILOTMISHA, MorGott и Lei Radna. Поэтому теперь вы знаете, как сделать игру, скрафтить косплей, написать историю и посадить самолет. А если еще не знаете, то смотрите и учитесь.
Майкл расскажет много интересного про дырки и отверстия в человеческом теле и в чём отличие между ними. Познакомит с азами топологии и покажет, как из кружки получить пончик, и другие примеры гомеоморфизма.