Игры с повторениями
Если рациональное сотрудничество невозможно в дилемме заключенных, как же дуополисты в реальной жизни могут договориться? Причина заключается в том, что реальный мир более сложен, чем вымышленные миры. Реальные дуополисты не живут ровно одним решением, а принимают новые и новые решения день за днем. Дилемма заключенных не отражает суть такого продолжающегося экономического взаимодействия, но мы можем создать «игрушечную игру», предполагая, что Алиса и Фантомас должны играть в данную игру дилеммы заключенных каждый день с сегодняшнего дня и до вечности. Их выигрыши в этой новой игре – это просто их средний ежедневный доход.
Когда мы будем изучать повторяющиеся игры серьезно, мы найдем, что Алиса и Фантомас имеют огромное, в общем виде счётное, количество стратегий, но сейчас мы будем просто смотреть на три: одна шляпа, две шляпы, и «я такой внезапный». Третья стратегия – это делать одну шляпу до тех пор, как ваш противник делает то же самое, но переключится на две шляпы на следующий день после того, как ваш противник первым попытался на вас навариться. Если вы измените свою стратегию, то это потому, что ваш противник сам изменил ее, сделав две шляпы без предупреждения. Итак, чтобы не рисковать проигрышем, вы отныне и навсегда будете делать то же самое.
Если использовать только стратегии «1 шляпа» и «2 шляпы», дилемма повторяющихся заключенных будет такой же, как и однократная, но у нас также есть стратегия «я такой внезапный». Когда игрок «я такой внезапный» играет с любителем такой же или одношляпной стратегии, то они всегда делают по одной шляпе, и каждый день оба получают по 14 евро.
Всё становится сложнее, когда игрок «я такой внезапный» наталкивается на двухшляпного. В первый день он сделает одну шляпу, а во второй – две. Но далее каждый игрок будет делать по 2 шляпы каждый день. Тогда каждый получит средний выигрыш в 11 евро, так как выигрыш в первый день не имеет значения при вычислении средних над бесконечным периодом.
Согласовав полученные значения, мы переходим к матрице выигрышей, указанной на таблице. Данная таблица – лишь малая часть общей платёжной матрицы повторяющейся дилеммы заключенных, потому что мы рассмотрели только три стратегии из счётного множества. В полной таблице мы сможем наблюдать бесконечное множество равновесий, так какое же необходимо выбрать? Или к какому сойдётся игра? На самом деле, ответ на данный вопрос получить так просто нельзя, поэтому обычно в задачах просят просто найти множество равновесий по Нэшу, или Парето-оптимум, или, опять же, ставят более явный вопрос.
Смешаные стратегии
Если матрица платежей содержит седловую точку, то существуют хорошие стратегии для обоих игроков. Для однократной игры партнёрам стоит использовать принцип минимакса вне зависимости от того, содержит ли матрица платежей седловую точку или не содержит. Этот же принцип целесообразно использовать и при многократной игре с седловой точкой.
Стратегия меняется, как только речь заходит о многократной игре без седловой точки. В этом случае постоянное повторение стратегии может привести к невыгодным результатам. Например, если мы будем играть в «камень-ножницы-бумагу» и ходить всё время только одинаково, то даже если соперник немного умственно неполноценен, успеха нам это не принесёт.
В повторяющихся играх каждая из стратегий однократной игры называется чистой стратегией.
Смешанная стратегия – это присвоение вероятности каждой чистой стратегии.
Это позволяет игроку случайным образом выбирать чистую стратегию. Поскольку вероятности непрерывны, игроку доступно бесконечно много смешанных стратегий. Интерес к смешанным стратегиям объясняется просто – если соперник определит, какая из ваших стратегий будет применяться в очередной игре, он сможет использовать эти знания для улучшения своего результата (и ухудшения вашего). Поэтому «чем случайнее, тем вернее», именно непредсказуемо случайное чередование стратегий не позволит добиться сопернику выигрыша.
Логично, что чистые стратегии можно представить как частный случай смешанных, например, в том случае, когда частота одной из стратегий – 1, а остальных – 0.
В оптимальных смешанных стратегиях игрок, отклонившийся от своей оптимальной стратегии, изменяет средний выигрыш в невыгодную для него сторону.
Полностью смешанная стратегия – это смешанная стратегия, в которой игрок присваивает каждой чистой стратегии строго положительную вероятность.
Решение игры есть совокупность применения каждым из игроков своих оптимальных стратегий.
Цена игры – результат, достигнутый при решении игры, то есть, средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша) при применении оптимальных стратегий обоими игроками.
Те стратегии, которые присутствуют в оптимальной стратегии игрока с ненулевыми частотами, называются полезными (другое название – активными).
В 1928 году фон Нейман доказал, что для каждой игры имеется не менее одного решения. Это решение может находится в том числе в области смешанных стратегий.