Это классическая задача теории вероятностей, известная как "Парадокс дней рождения".
Ответ зависит от размера компании. Парадокс заключается в том, что вероятность совпадения дней рождения растет гораздо быстрее, чем нам кажется интуитивно.
Давайте рассчитаем вероятность для разного количества человек.
Краткий ответ (для компании из 23 человек)
Вероятность того, что хотя бы у двух людей из 23 день рождения совпадет, составляет примерно 50.7%.
Это уже больше половины! Именно поэтому это называют парадоксом — наша интуиция часто сильно занижает эту вероятность.
Как рассчитывается вероятность?
Проще всего рассчитать вероятность противоположного события — что все дни рождения разные, а затем вычесть эту вероятность из 1.
Формула выглядит так:
P(совпадение) = 1 - P(все дни рождения разные)
Вероятность того, что все дни рождения в группе из n человек различны, рассчитывается по формуле:
Вот как вероятность меняется в зависимости от количества человек (n):
Количество человек (n) Вероятность совпадения 5 ~2.7% 10 ~11.7% 23 ~50.7% 30 ~70.6% 40 ~89.1% 50 ~97.0% 60 ~99.4%
Пример расчета для компании из 10 человек
1. Первый человек может родиться в любой день года: 365/365 = 1. 2. Второй человек должен родиться в другой день: 364/365. 3. Третий человек должен родиться не в те же дни, что и первые два: 363/365. 4. ... и так далее до десятого человека: 356/365.
Перемножаем эти вероятности, чтобы найти вероятность того, что все дни рождения разные: P(все разные) = (365/365) * (364/365) * ... * (356/365) ≈ 0.883
Вероятность хотя бы одного совпадения: P(совпадение) = 1 - 0.883 = 0.117или 11.7%.
Важные уточнения
1. "Хотя бы у двух": Мы считаем вероятность хотя бы одного совпадения. Это включает в себя и вариант, когда совпадают дни рождения у ровно одной пары, и когда совпадают у трех человек и т.д. 2. Упрощения модели: В расчете мы не учитываем високосные годы (29 февраля), предполагаем, что все дни рождения равновероятны, и не учитываем близнецов. 3. Для вашего вопроса: Если вы имели в виду конкретно, что в компании есть ровно два человека с совпадающим днем рождения, а у всех остальных дни рождения уникальны, то вероятность будет немного ниже, чем приведенные выше цифры. Однако на практике почти всегда интересует вероятность "хотя бы одного совпадения".
В дружеской компании, скажем, из 10 человек, вероятность совпадения дней рождения уже заметна (~12%), а в компании из 23 человек шансы "за или против" практически равны (около 50/50).
08 августа 1931 года родился Роджер Пенроуз — британский физик и математик, работающий в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории.
«...необходимо затронуть вопрос о том, что представляет собой подлинная оригинальность. Мне кажется, что тут действуют два фактора, а именно: процессы «предложения» и «отбора». Из них «предложение» кажется мне по большей части процессом бессознательным, тогда как «отбор» - наоборот. Без эффективного процесса «предложения» новые идеи не возникали бы совсем. Но сама по себе эта процедура мало полезна. Нужен эффективный механизм оценки этих идей, который позволил бы выжить только тем из них, которые представляются достаточно разумными...»
При каких условиях происходит расцвет науки и страна становится центром создания инноваций? Интересен пример с одним из самых известных членов Академии наук России Леонардом Эйлером. Наряду с Луи Лагранжем он считается одним из величайших математиков в истории, который внес также фундаментальный вклад и в другие науки. Область его познаний и научных работ включал как прикладные сферы — баллистику, кораблестроение, гидродинамика, так и, например, теорию музыки. Леонард Эйлер знал несколько европейских и древних языков, а так же внес существенный вклад в становлении науки в России.
1 Портрет, выполненный Я. Э. Хандманном (1756))
Любовь Эйлера к математике заронил еще его отец. Он был пастором в швейцарском селении Риен недалеко от Базеля и готовил сына к карьере священника. Но так как он сам интересовался математикой, то решил, что она пригодится и сыну в качестве «интересного и полезного занятия». В возрасте 13-ти лет, когда Леонард учился в гимназии, он был допущен к посещению публичных лекций в Базельском университете. Именно тогда на него обратил внимание профессор Иоганн Бернулли, который после смерти Ньютона стал лидером европейских математиков. Разглядев талант в юном слушателе, Бернулли стал заниматься с ним индивидуально. Леонардо оправдал его ожидания и впоследствии превзошел своего учителя.
После получения степени магистра искусства в 1724 году Эйлер по настоянию отца начал изучать восточные языки и богословие, чтобы идти по духовной карьере. Но сам он стремился к науке. Так как юный возраст не позволял ему занять место профессора в университете, то он искал другие возможности. Сыновья Иоганна Бернулли в это время получили приглашение в Санкт-Петербург, где по указанию Петра I была организована Академия наук. Там они смогли рекомендовать Эйлера, но свободным было место только для физиолога при медицинском факультете. И Леонардо стал изучать медицину, чтобы получить это место и заниматься наукой.
В Петербурге были созданы благоприятные условия для науки, сосредоточены лучшие специалисты того времени в области математики. В таких условиях Эйлер смог реализовать свой потенциал, а Петербургская Академия стала одним из центров передовых достижений в мире по математике. Леонардо не нужно было думать о том, как обеспечить себя материально, где жить и где публиковать результаты своих исследований. Своими открытиями Эйлер делился также и в активной переписке с другими учеными, не дожидаясь официального издания, что сделало его известным среди широкого круга коллег. И уже через несколько лет его наставник Иоганн Бернулли признал выдающиеся достижения своего ученика, превзошедшего учителя.
2 Иоганн I Бернулли
В созданной Петербургской Академии наук был непростой период, когда в 1740 году к власти пришла регентша Анна Леопольдовна. Общая тревожная обстановка вынудили Эйлера принять приглашение короля Фридриха II, который занимался возрождением Курфюршеского Бранденбургского научного общества в Берлине, созданного еще в 1700-м году Готфридом Лейбницем. Эйлер не только занимался теоретическими исследованиями, но и применял свои знания на практике. По поручению Фридриха Великого он в 1749 году изучил работу канала Фуно между Гавелем и Одером, а также водоснабжения в городе Сан-Суси. В результате этого Эйлер написал более 20 работ по гидродинамике, а разработанные им уравнения позднее были названы в его честь.
Но и после переезда, Леонардо не только продолжает плодотворную научную деятельность, но и поддерживает связи с Петербургской Академией наук. Он оставался ее членом и получал ежегодную пенсию. Со своей стороны он закупал для Академии книги, научные приборы, помогал подбирать сотрудников и активно участвовал в работе математического отделения. Эйлер продолжал делиться научными открытиями, а в его доме в разное время жили студенты из России, ставшие позднее академиками. Он так же вел активную переписку с М.В. Ломоносовым и давал блестящие отзывы на его работы, исходя из научных критериев, а не следуя враждебного отношения немецких чиновников к Михаилу Васильевичу.
В 1766 году Эйлер принял приглашение от Екатерины II, которая предлагала вернуться в Петербургскую Академию наук на любых условиях. Императрица сдержала свое обещание и, помимо выделения средств на покупку дома, лично принимала участие в решении возникающих проблем. Сыновья Эйлера стремились тоже переехать вслед за отцом — Иоганн Альберт стал академиком по физике, Карл получил должность в медицинском ведомстве, а младшего Христофора Фридрих II не хотел отпускать с военной службы. Личное вмешательство Екатерины II помогло решить вопрос с его переездом в Россию, где он стал директором оружейного завода в Сестрорецке.
3 «Апофеоз царствования Екатерины II». Худ. Г. Гульельми, 1767
Примечательно, что спустя почти 300 лет в Москве пытались повторить этот опыт и построить отечественную Кремниевую долину в Инновационном центре Сколково. Изначально планировалось создание автономной и саморазвивающейся экосистемы, где должны быть все условия для создания инновационных продуктов и развития предпринимательства. К сожалению, даже наличие желания у власти и деньги не смогли создать нужные условия, а ряд ошибок привели к постепенному сворачиванию проекта к обычной зоне со льготным налоговым режимом при соблюдении некоторых условий. А содержание инфраструктуры постепенно передают на баланс города Москвы.
Но создание нужных условий для научной работы не решает всех проблем. Нужно, чтобы и сам учёный обладал работоспособностью. И Эйлер поражает до сих пор количеством и качеством своих исследований. Всего за свою жизнь он написал около 900 научных работ. Одни из них стали фундаментальными исследованиями, другие обобщали накопленный опыт, третьи демонстрировали поразительную результативность. Например, в 1735 году Эйлер за 3 дня произвел сложную работу по расчету траектории кометы, на которую по оценки ученых требовалось несколько месяцев.
4 Титульная страница книги Эйлера Methodus inveniendi lineas curvas
Подобная интенсивная работа давалось непросто — в результате напряжения сил по расчету траектории Эйлер заболел нервной горячкой, которая стала причиной потери глаза. После 60 лет зрение ухудшалось, он мог писать только мелом на черной доске, а в 1773 году он окончательно ослеп, нарушив предписания врача не читать после операции по удалению катаракты. Но и тогда он продолжает интенсивно работать — с 1769 года до самой своей смерти в 1783 году он надиктовал ученикам и помощникам почти 380 статей и сочинений.
1) «… во многих случаях Тейлор был немилосерден к окружающим. Иногда такая немилосердность доходила до жестокости или откровенной грубости. Разве это делалось во имя великой цели или как часть революционной борьбы? Вовсе нет. Причины кроются внутри человека. Тейлор относился, скажем так, жёстко к другим потому, что не щадил себя, предъявляя к себе очень высокие требования. Если я суров к себе, то почему должен либеральничать с другими? Это несправедливо. Вот мотивационная пружина поведения Тейлора. Но только ли его? Может быть, и тысяч других организаторов производства, руководителей, в том числе и Гастева?
„Суровая моральная дисциплина“
Это выражение было любимым у Тейлора. Оно как нельзя более полно отражало суть его нравственной жизни и отношения к жизни — своей собственной и окружающих его людей, включая и родителей».
Самин Д. К., 100 великих ученых. — М.: Вече, 2004. — 592 с. (100 великих) с.113-119
Москва въезжает в Сколково // Коммерсантъ, Дата публикации 25.03.2024 Режим доступа: URL https://www.kommersant.ru/doc/6592171 (Дата обращения: 14.04.2024)
Наука «о случае» еще со времен академика и основателя петербургской математической школы П.Л. Чебышёва являлась как бы русской национальной наукой. Особое прикладное значение имел закон больших чисел — поиск необходимого и достаточного условия. Этой задачей занимались десятилетиями математики всего мира, а решил ее аспирант А.Н. Колмогоров.
1 Колмогоров Андрей Николаевич на лекции
Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главным направление своей работы, хотя имел достижения в не водном десятке специализаций. На протяжении многих лет вместе с А.Я. Хинчиным он разрабатывал общую теорию случайных процессов. Отец кибернетики Норберт Винер отмечал:
«...Хинчин и Колмогоров, два наиболее видных русских специалиста по теории вероятностей, долгое время работали в той же области, что и я. Более двадцати лет мы наступали друг другу на пятки: то они доказывали теорему, которую я вот-вот готовился доказать, то мне удавалось прийти к финишу чуть-чуть раньше их».
И еще одно признание Винера, которое он однажды сделал журналистам: «Вот уже в течение тридцати лет, когда я читаю труды академика Колмогорова, я чувствую, что это и мои мысли. Это всякий раз то, что я и сам хотел сказать»
2 Норберт Винер
Некоторые факты биографии
Андрей Николаевич Колмогоров родился 120 лет назад — 25 апреля 1903 года в Тамбове. Родственники проводили обучение детей разного возраста с ним и другими детьми разного возраста по рецептам новейшей педагогики того времени. Они издавали рукописный журнал с творческими работами учеников, где появились первые «научные работы» Андрея — придуманные им арифметические задачи.
В семь лет Колмогорова пошел учиться в частную гимназию, который был московской прогрессивной интеллигенцией. «В 1918–1920 годах жизнь в Москве была нелегкой, — вспоминал Андрей Николаевич. — В школах серьезно занимались только самые настойчивые. В это время мне пришлось уехать на строительство железной дороги Казань—Екатеринбург. Одновременно с работой я продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву я испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы мне выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать».
3 Академики в санатории «Узкое». Стоят: Николай Николаевич Лузин, Матвей Никанорович Розанов и Владимир Иванович Вернадский.
В 1920 году он поступил на математическое отделение Московского университета, чтобы учиться у лучших математиков — у П.С. Урысона, П С. Александрова, В.В. Степанова и Н.Н. Лузина. Лекции профессора Московского университета Николая Николаевича Лузина проходили неординарно. Помимо этого Лузин проводил для учеников «среды» у себя дома, где за чашкой чая обсуждались научные проблемы.
Колмогоров обратил на себя внимание Лизина, кода в ответ на предложенное условие теоремы указал и обосновал их ошибочность. Через год Николай Николаевич предложил Колмогорову принять участие в занятиях, проводимых для учеников его курса.
1) «В многочисленных воспоминаниях, посвящённых А.Н. Колмогорову отмечается, что, начинается со школьных лет он стремился — так или иначе — работать со сложными задачами (стратегия большинства людей иная — они стремятся работать с самыми лёгкими задачами, которые гарантировано получаются). При этом: Для математических работ Андрея Николаевича характерно то, что он явился пионером и первооткрывателем во многих областях, решая порой двухсотлетние проблемы».
2) Видео: МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НОВЫХ КАЧЕСТВЕННЫХ УРОВНЕЙ / СКАЧКОВ...
3) Идёт приём Ваших новых вопросов по более чем 400-мнаправлениям творческой деятельности — на онлайн-консультацию третье воскресенье каждого месяца в 19:59 (мск). Это принципиально бесплатный формат.
Pазочарую πкабушников, опрометчиво считающих цифры в моем нике неким намеком на нецензурные выражения:) Увы, тут всё просто, без интриг. День рождения у меня в один день с числом π. Правилами πкабу я даже в заголовок букву π вπсать не могу. Он считает это попыткой сматериться, что в заге непозволительно :) Ну тогда в тексте раскидаю.
Один джазовый музыкант как-то поздравил меня, прислав заπсь музыки. В ней ноты разложены как раз по цифрам числа π. Мякотка в том, что играть эту мелодию можно бесконечно - ведь до конца число еще так и не доπсали. Сейчас суперкомпьютер, который этим занимается, дошел до стотриллионных знаков. А японский профессор Ясумаса вычислил π до 12,4-квадрильоного знака. В общем, играть -- не переиграть. Но я вас мучить не буду, ограничившись парой минут видео
Оркестр Санкт-Петербургского политеха пошел дальше и заπсал чуть ли не симфонию с кучей инструментов. Там даже нотки Cing Krimson можно расслышать:
А для тех, кому интересно, как вообще число можно переложить на ноты, - вот более познавательный вариант:
