Ссылка на коммент: #comment_215811621

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу Вам рассказать удивительную историю, которая есть далеко не у каждого математического или геометрического объекта. Корни моего рассказа уходят в 18 век и происходили в самом сердце Священной Римской империи - итальянском городе Милан.

В зажиточной купеческой семье (21-ой по счёту) в 1718 году родилась Мария Гаэтана Аньези. Иронично, что в именно в 21 год отец Марии не дал уйти девушке в монастырь, настояв на необходимости заниматься математикой (он сам был профессором и заметил способности дочери).

Уже нетипичная история для 18 века, не правда ли?

В итоге по представлению Папы римского Бенедикта XIV Мария стала профессором математики, натуральной философии и физики университета Болоньи, а затем вошла в историю за исследование одной плоской кубической кривой. Давайте посмотрим, о чем шла речь.

Построение на пальцах

1. Итак, нам необходимо построить окружность, а также провести касательную l1 через любую её точку. Удобнее всего это будет сделать через её верх:

2. Берем произвольную точку А на касательной l1 и проводит через неё прямую в точку, диаметрально противоположную точке касания.

3. Через точку пересечения с окружностью новой прямой проводим прямую l2, параллельную касательной l1.

4. Из точки А проводим перпендикуляр к прямой l2. На пересечении и получаем точку искомой кривой.

Если повторить указанные выше построения, а затем отразить всё через вертикальную ось, получим такую кривую:

С первого взгляда кривая очень похожа на колоколообразную кривую нормального распределения, однако первое впечатление обманчиво. У нашей героини намного более "тяжелые хвосты"

Конечно, как и в почти любой математической истории 17-18 века здесь не обошлось без вездесущего Пьера Ферма, который уже рассматривал похожую конструкцию. Заслуга Марии Аньези в том, что именно она систематизировала все знания о кривой и нашла её алгебраическое уравнение, дала характеристики точкам перегиба и асимптотической линии, к которой стремятся внизу "ведьминские" локоны.

Кстати, а при чём здесь ведьмы?

Первое название "верзьера" кривой дал еще один знакомый моим Читателям персонаж - итальянский монах Гвидо Гранди, известный по одноименному числовому ряду.

Дело в том, что при построениях он оперировал редкой тригонометрической функцией "синус-верзус"

По совпадению в то время в Италии было принято говорить о Дьяволе, противнике Бога, другими словами, такими как "аверсьеро" или "версьеро", происходящими от латинского "adversarius". Versiera, в частности, использовалась для обозначения жены дьявола или "ведьмы".

Из-за этого профессор Кембриджа Джон Колсон неправильно перевел название кривой как "ведьма", когда работал над английской адаптацией труда Марии Аньези. Зато теперь в англоязычной литературе можно встретить названий "Witch of Agnesi".

А какие применения есть у верзьеры Аньези?

С точки зрения прикладной математики именно кривая Аньези стала полем для эксперимента, благодаря которому был открыт т.н. эффект Рунге.

Простыми словами он заключается в неограниченном увеличении погрешности приближения некоторых кривых линий с помощью интерполяционных полиномов при увеличении их степени. Смотрите:

Синим цветом - функция, которую надо аппроксимировать полиномом. На рисунке полином 5-ой степени (например, ax^5 + bx^4+cx^3+dx^2+ex+f). Кажется, что если увеличивать количество степеней, то можно добиться идеального приближения. Но посмотрите, что происходит, когда степень равна 10:

На краях возникают колебания, ничего общего не имеющие с исходной кривой. Так вот, впервые эффект Рунге был замечен как раз на кривой Аньези.

Форму кривой Аньези также имеет трамплин-рампа авианесущего крейсера "Адмирал флота Советского Союза Кузнецов". Его параметры (длина, угол схода) подобраны таким образом, что самолет находится на идеальном угле атаки с нужной скоростью. Могла ли предположить итальянская девушка Мария такое применение своей безобидной кривой?

Больше интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"