daybit

Аналемма - кривая, которую "рисует" солнце в течение года, если фиксировать его положение в одно и то же время (разумеется, без учёта сезонного перевода стрелок).

Всё началось с обсуждения известного снимка аналеммы:

Помимо точек, на фотографии присутствуют три линии - две из них соответствуют дням солнцестояния (зимнего - правая короткая, и летнего - слева вверху, длинная), а средняя, как мне сказали, "ошибочна" - мол заявлено, что это равноденствие, но это не так. Мне-то очевидно, что точка перекрестия в аналемме расположена "выше" дней равноденствия. [1] Но мне захотелось найти первоисточник, чтобы убедиться, что там с описанием фотографии всё в порядке. Сразу скажу - нашёл, убедился, всё ок. ) [2]

Однако я почитал статью повнимательнее и подумал, что вам тоже будет интересно, как в 70-е годы прошлого века люди могли справиться с такой технической задачей.

Статья про эту аналемму опубликована в июньском номере журнала Sky & Telescope 1979 года, и в ней автор, Dennis di Cicco, описал технические нюансы, с которыми он столкнулся.

С учётом того, что я сам в середине 2000-х писал программу по расчёту положения Солнца, мне показались занятными следующие строки:

покупка программируемого калькулятора Hewlett-Packard HP-67 позволила написать несколько программ, которые из прямого восхождения и склонения солнца в разные даты позволяли вычислить высоту и азимут наблюдения из окна. Это дало возможность нарисовать, как именно фотография аналеммы должна выглядеть с учетом деревьев и здания на востоке.

Решил посмотреть, как он выглядел - этот супер-монстр из 70-х:

Впечатляет.

Далее автор описывает цифровой будильник, который он допиливал три месяца, чтобы приспособить под автоматический спуск затвора.

Первая попытка, с февраля 1977 по февраль 1978, оказалась неудачной - автор ошибся с наклоном камеры, и верхняя часть аналеммы не вошла в кадр:

Пришлось делать второй снимок длиной 1 год, с 1978 по 1979 гг. Снимки делались раз в неделю, или в случае непогоды - на следующий день. Точное время выставлялось с помощью радиостанции WWV (коротковолновая радиостанция с сигналами точного времени, которая начала работать в Америке в 1920 году). Все снимки были сделаны в автоматическом режиме, а половина из них - при отсутствии дома людей.

Длинные линии были сделаны с использованием солнечного фильтра (плотностью 6.0), который был рассчитан таким образом, чтобы за время сдвига солнечного диска на свой диаметр (то есть примерно за 2 минуты) плёнка не была переэкспонирована.

Далее следует как раз отдельное описание средней линии, которая и стала поводом моих сегодняшних поисков. В статье автор пишет, что эту линию, которая соответствует перекрестной точке восьмерки-аналеммы, нужно было снимать либо в середине апреля, либо в конце августа. [3] Автор подумал о том, что если бы он снял это в апреле, пока на дереве нет плотной листвы, то снимок выглядел бы так, что солнце прошло перед деревом. Обратите внимание - зимняя линия (самая короткая, справа) именно так и выглядит.

Фоновый кадр был сделан в сентябре, когда солнце было не в кадре (обратите внимание на тень от трубы). При этом нейтральный фильтр был заменён на поляризационный фильтр, чтобы небо получилось потемнее.

Погода постоянно норовила испортиться, в частности январь 1979-го был весьма пасмурным. Однако повезло. Также зимой несколько раз приходилось отогревать замёрзшее окно, за которым стоял фотоаппарат, феном.

Была ещё одна проблема - пропадание электричества. Таймер мог из-за этого сбойнуть, и либо не сработать, либо наоборот - сделать снимок в незапланированное время. Такое пропадание электричества случилось в мае 1978, и не было возможности узнать, все ли в порядке со снимком. Автор принял решение продолжать. Насколько я понял, какое-то "лишнее" солнце вне аналеммы пришлось заретушировать.

На следующем рисунке представлены ключевые даты:

Все снимки солнц делались в 08:30 EST.

И наконец - картинка, объясняющая, почему утренняя аналемма выглядит для наблюдателя таким образом:

Примечания:

[1] Асимметрия фигуры аналеммы связана с эллиптичностью орбиты Земли вокруг Солнца - летняя петля (для северного полушария) из-за этого более узкая, зимняя - более широкая. В частности, это приводит к тому, что летом в северном полушарии Уравнение Времени (отклонение истинного солнечного времени от среднего) не превышает 6 минут по абсолютной величине, и поэтому правильно сделанные солнечные часы

http://pikabu.ru/story/kak_sdelat_solnechnyie_chasyi_5067362

будут показывать время с приемлемой точностью даже без дополнительных поправок.

[2] Кому интересно почитать исходник, можете взять его здесь: https://archive.org/details/Sky_and_Telescope_1979-06-cbr

[3] То есть всё в порядке, это не дни равноденствия, а даты, смещённые в сторону летнего солнцестояния.

Намедни в сообществе был опубликован пост про межгалактические путешествия

http://pikabu.ru/story/vozmozhen_li_mezhgalakticheskiy_turiz...

Автору поста @Nekripssa в комментариях напомнили, что время полёта для межгалактических путешественников будет сокращаться тем эффективнее, чем ближе их скорость к скорости света, не все поняли эту идею, и даже пост нескольколетней давности

http://pikabu.ru/story/razgonyaemsya_do_pochtiskorostisveta_...

сомневающимся не помог. И вот я решил наконец сделать то, что всё откладывал на потом - вбить в Excel формулы из статьи Википедии "Релятивистски равноускоренное движение" и посчитать гипотетический полёт космолёта, который стартует от Земли и улетает от неё с комфортным для человека ускорением g = 9.8 м/с2.

Результаты расчётов получились настолько любопытными, что я решил запилить отдельный пост, который и представляю вашему вниманию. Надеюсь, что я нигде не ошибся в расчётах, что подтверждается совпадением с числами (из книги 1970 года), которые представлены в другой вики-статье "Межзвёздный полёт".

Сразу оговорюсь - с точки зрения существующих у человечества космических двигателей всё нижеописанное (то есть тяга 1g длительностью в годы), увы, фантастика. Но помечтать о таких вещах, которые напоминают наши земные условия в смысле динамики/ускорения, мне кажется, полезно, чтобы просто почувствовать, насколько любопытно наше с вами пространство: при малых скоростях оно кажется нам линейным в пространственном и временном смыслах, но при околосветовых скоростях начинаются натуральные чудеса.

Итак, мы летим на нашем космолёте в сторону выбранной звезды/галактики с ускорением g. При этом мы испытываем вес, равный привычному нам земному, и значит мы даже в отсутствие специальных тренажёров уберегаем себя от опасности "эффекта Николаева" - фатальных последствий длительного пребывания человеческого организма в невесомости.

Если бы ускорение с точки зрения неподвижного наблюдателя было линейным, то с ускорением g мы бы набрали скорость света чуть менее чем за 1 год. Но поскольку речь идёт о постоянном ускорении лишь с точки зрения космонавтов, то с неподвижной точки зрения чем ближе скорость приближается к скорости света, тем ускорение становится меньше.

Через один "неподвижный" год после старта корабль разгонится до скорости 215 тыс. км/с (72% от скорости света), а на самом корабле к тому моменту пройдёт 0.88 года, то есть почти на полтора месяца меньше, чем 1 год. К тому моменту корабль преодолеет 0.42 "неподвижных" световых года.

Через ещё один "неподвижный" год скорость корабля дорастёт до 270 тыс. км/с (90% скорости света), у путешественников пройдёт 0.55 года, и общее время путешествия составит 1.43 года. Они будут уже в 1.25 световых годах от Земли.

И так далее - чем ближе путешественники с неподвижной точки зрения к скорости света, тем сильнее замедляется бортовое время. Через 10 "неподвижных" лет после старта скорость корабля почти дорастёт до скорости света (99.5%), а бортовые часы покажут время полёта 2.94 года. Космолёт будет уже на расстоянии 9.08 световых лет, и далее каждый "неподвижный" год добавляет длине путешествия почти 1 световой год, а бортовое время всё более замедляется: например с 10 до 11 лет на Земле пройдёт год, а на корабле - только 1 месяц.

Через 100 "неподвижных" лет (когда, к слову, умрут все земные современники наших космонавтов) на борту пройдёт 5.17 года (расстояние = 99.04 световых года), через 3000 лет (толщина Млечного пути) - 8.46 бортовых года, а через 100000 лет (диаметр Млечного пути) - 11.86 бортовых года.

Только представьте себе, что при всех немыслимых космических расстояниях вы, пусть теоретически, могли бы в течение своей жизни успеть слетать до любой звезды, которую вы видите на ночном небе. Вообразите себе, насколько хитрая матрёшка - наше пространство, которое так спокойно сжимается в сторону вашего ускорения. И ведь никаких диких ускорений и времён - всё сообразно нашим земным условиям.

Ну вот, скажем, Полярная звезда - 430 световых лет. Половину расстояния мы разгоняемся за 6 бортовых лет, половину расстояния - тормозим тоже за 6 лет, затем обратная дорога, итого дорога туда-сюда займёт 24 бортовых года. Да, Землю мы узнаем с трудом, ведь на ней пройдет 860 лет, зато привезём потомкам прикольные фоточки Полярной звезды и её спутников, а они повеселятся (если ещё будет кому веселиться) с наших фотоаппаратов и престарелой техники.

Напоследок, чтобы всё это не осталось голым текстом, давайте я приведу несколько графиков.

Первый график - зависимость бортового времени от "неподвижного" времени:

Как видно, нижняя ось сама напросилась в логарифмический масштаб, и график получился почти линейным (k - тысяч, M - миллионов, G - миллиардов; расстояние в световых годах немного не совпадает с нижней осью, но мы этим пренебрегаем). Этак если фантазировать, то и всю Вселенную пересечь уже не такая проблема (правда, я смутно представляю, что астрофизики думают про "края" Вселенной и линейность этого процесса).

И ещё один график - динамика разгона до скорости света:

Ну тут всё ожидаемо - вначале почти линейный разгон, а потом - асимптотическое приближение к скорости света.

Сразу оговорюсь. Я понимаю, что всё нижеприведённое - детский сад по сравнению с расчётами, которые выполняют перед полётом реальных космических аппаратов. Но иногда хочется самому поиграться с числами в меру своих возможностей и компетенции. И вот подумал - выложу сюда, глядишь, кому-то будет тоже любопытно лишний раз убедиться, что всё работает. )

Как-то зимними вечерами я начал размышлять про то, что любая каменюка, которая прилетела на Землю, имеет минимальную скорость, равную второй космической (11 км/с), и нет у неё никакой возможности подобраться "по-тихому", с меньшей скоростью. Поскольку Земля - гравитационная яма такой "глубины".

Потом дошло, что простой подход к вычислению второй космической скорости на самом деле не настолько тривиален, как может показаться. Ведь как мы обычно поступаем? Берём формулу потенциальной энергии Eп = -GMm/R, подставляем бесконечное R, где потенциальная энергия равна нулю, вычитаем энергию при R = радиусу Земли, приравниваем эту разницу кинетической энергии m*v^2/2 и получаем простую формулу для второй космической:

v = (2GM/R)^0.5

Казалось бы, всё в порядке. Однако не все понимают, что мы тут неявно пользуемся рассуждением о том, почему мы пренебрегаем кинетической энергией, которую получает Земля при таком взаимодействии. А ведь и правда, почему мы можем этим пренебречь? Ведь импульс M*V Земля получает тот же самый (по модулю), что и разогнавшееся тело - m*v. Но если сравнить кинетическую энергию, которую получает Земля, выяснится, что она в M/m раз меньше кинетической энергии тела, и значит для любых разумных масс m ею можно пренебречь, и формула для второй космической становится верной, с высокой точностью.

Следующая мысль была такой - ну хорошо, если каменюка прилетает лоб в лоб Земле, то она имеет скорость 11 км/с. Ну а если она пролетает рядом, например по касательной к орбите МКС, то вроде как понятно, что её минимальная скорость тоже будет 11 км/с (это понятно из того же сохранения энергии), но мне захотелось это напрямую промоделировать исходя лишь из притяжения Земли с силой GMm/R^2, благо задача несложная, а компьютер - штука тупая, но очень быстрая - и поможет мне всё это нарисовать.

Сказано - сделано. Сделал расчет в цикле, где тело стартует с некой начальной скоростью v0 с орбиты МКС (взял радиус от центра Земли = 6700 км), и далее делаю следующее: пролетаю в течение малого времени dt с текущей скоростью (то есть перемещаю его на v*dt), затем векторно прибавляю к скорости произведение ускорения на dt, и на этом собственно всё, перехожу к следующей итерации. Все расчёты векторных величин веду в проекциях на X и Y.

Для начальной скорости 7.7 км/с получилась такая картинка (вторую половину эллипса я не рисую): круговой облёт Земли на расстоянии 6700 км от центра. Посчитал для такого радиуса, на всякий случай уточнил в интернетах - совпало со скоростью МКС, всё в порядке.

Далее - начинаем увеличивать начальную скорость с шагом 50 м/с. При v0 = 9.45 км/с наш эллипс доходит до орбит спутников GPS - 20 тыс. км, касаясь их на скорости 3.2 км/с, и потратив на половину эллипса 2.1 часа:

На следующем рисунке объединены несколько полуорбит с начальными скоростями от 10.65 до 10.85 км/с (с шагом 0.05). Параметры приведены на рисунке. Для ориентира приведено расстояние до орбиты Луны (разумеется, без учёта её нахождения в том месте и гравитационного поля от неё):

И наконец рисунок в последнем масштабе - Земля уже занимает несколько пикселей с левого края рисунка. Две начальные скорости - 10.90 и 10.95 км/с. В первом случае крайнее расстояние до планеты составило 1.5 млн.км, во втором - тело наконец отрывается от Земли и улетает в космос. Расчёты, разумеется, неточные, все эти пошаговые вычисления могли накопить ошибки (и накопили), но порядок крайней величины, исходя из второй космической скорости для R = 6700 км, получился верный - 10.9 км/с.

И в конце приведу график, в котором просуммированы все расчёты в виде трёх графиков (чтобы уложить их на одну вертикальную ось, я сделал её в логарифмическом масштабе) спустя половину периода обращения: скорость V end, время t, расстояние до центра Земли R_end. Например по графику видно, что при начальной скорости 10.1 км/с тело коснётся геостационарных орбит через 5 часов на скорости менее 2 км/с.

Регулярно сталкиваюсь с тем, что люди не понимают разницу между весом и массой. Это в общем-то понятно, поскольку мы находимся всю жизнь в непрекращающем своё действие гравитационном поле Земли, и эти величины для нас постоянно связаны. И эта связь ещё и лингвистически закрепляется тем, что мы узнаём массу с помощью весов, "взвешиваем" себя или, скажем, продукты в магазине.

Но давайте всё-таки попробуем развязать эти понятия. В тонкости (типа отличающегося g в разных местах Земли и прочего) мы вдаваться не будем. Отмечу, что всё это входит в школьный курс физики, поэтому если всё нижесказанное для вас очевидно, не ругайтесь на тех, кто не успел эти вещи понять, а заодно на тех, кто решил это в сотый раз объяснить. ) Я надеюсь, что найдутся люди, которым эта заметка пополнит их аппарат понимания окружающего мира.

Итак, поехали. Масса тела - мера его инертности. То есть мера того, насколько трудно изменить скорость этого тела по модулю (разогнать или затормозить) либо по направлению. В системе СИ измеряется в килограммах (кг). Обозначается обычно буквой m. Является неизменным параметром, что на Земле, что в космосе.

Сила тяжести, измеряется в системе СИ в Ньютонах (Н). Это сила, с которой Земля притягивает тело, и равная произведению m*g. Коэффициент g равен 10 м/с2, называется ускорением свободного падения. С этим ускорением начинает двигаться тело относительно земной поверхности, лишённое опоры (в частности, если тело стартовало из неподвижного состояния, его скорость каждую секунду будет увеличиваться на 10 м/с).

А теперь рассмотрим тело массой m, неподвижно лежащее на столе. Для определённости пусть масса равна 1 кг. На это тело вертикально вниз действует сила тяжести mg (собственно сама вертикаль определяется как раз направлением силы тяжести), равная 10 Н. В технической системе единиц эту силу называют килограмм-силой (кгс).

Стол не позволяет разгоняться нашему телу, действуя на него с силой N, направленной вертикально вверх (эту силу правильнее рисовать от стола, но чтобы линии не накладывались, нарисую тоже из центра тела):

N называется силой реакции опоры, уравновешивает силу тяжести (в данном случае равна по модулю тем же самым 10 Ньютонам), так что равнодействующая сила F (сумма всех сил) равна нулю: F = mg - N = 0.

А то, что силы уравновешены, мы видим из второго закона Ньютона F = m*a, согласно которому если ускорение тела a равно нулю (то есть оно либо покоится, как в нашем случае, либо движется равномерно и прямолинейно), то равнодействующая сила F тоже равна нулю.

Вот теперь можно наконец сказать, что такое вес - это сила, с которой тело действует на подставку или подвес. Согласно третьему закону Ньютона эта сила противоположна силе N и равна ей по модулю. То есть в данном случае составляет те же 10 Н = 1 кгс. Вам, может быть, покажется, что всё это излишне сложно, и надо было сразу сказать, что вес и сила тяжести - одно и то же? Ведь они совпадают и по направлению, и по величине.

Нет, на самом деле они отличаются существенно. Сила тяжести действует постоянно. Вес меняется в зависимости от ускорения тела. Давайте приведём примеры.

1. Вы стартуете вверх на скоростном лифте (скоростном, чтобы фаза ускорения была эффектнее/заметнее). Ваша масса, скажем, 70 кг (вы можете пересчитать все числа ниже для вашей массы). Ваш вес в неподвижном лифте (перед стартом) равен 700 Н (или 70 кгс). В момент разгона вверх результирующая сила F направлена вверх (именно она вас и разгоняет), сила реакции N превышает силу тяжести mg, и поскольку ваш вес (сила, с которой вы действуете на пол лифта) по модулю совпадает с N, вы испытываете так называемую перегрузку. Если бы лифт разгонялся с ускорением g, то вы бы испытали вес 140 кгс, то есть перегрузку 2g, в 2 раза превышающую вес в состоянии покоя. На самом деле в штатном режиме таких перегрузок в лифтах не бывает, ускорение обычно не превышает 1 м/с2, что приводит к перегрузке всего 1.1g. Вес в нашем случае составит 77 кгс. Когда лифт разогнался до нужной скорости, ускорение равно нулю, вес возвращается к начальным 70 кгс. При замедлении вес, напротив, уменьшается, и если ускорение при этом по модулю равно 1 м/с2, то перегрузка составит 0.9g. При движении в обратную сторону (вниз) ситуация переворачивается: при разгоне вес уменьшается, на равномерном участке вес восстанавливается, при замедлении вес увеличивается.

2. Вы бежите, и ваш вес в состоянии покоя по-прежнему 70 кгс. В момент бега, когда вы отталкиваетесь от земли, ваш вес превышает 70 кгс. А пока вы летите (одна нога оторвалась от земли, другая - еще не коснулась), ваш вес равен нулю (поскольку вы не воздействуете ни на подставку, ни на подвес). Это - невесомость. Правда, совсем короткая. Таким образом, бег - это чередование перегрузок и невесомости.

Напомню, что сила тяжести во всех этих примерах никуда не девалась, не менялась, и составляла ваши "кровные" 70 кгс = 700 Н.

Теперь существенно удлиним фазу невесомости: представьте, что вы находитесь на МКС (международной космической станции). При этом мы не устранили силу тяжести - она по-прежнему действует на вас - но поскольку и вы, и станция находитесь в одинаковом орбитальном движении, то относительно МКС вы в невесомости. Можно представить себя где угодно в открытом космосе, просто МКС немного реалистичнее. )

Каким будет ваше взаимодействие с объектами? Ваша масса 70 кг, вы берёте в руку объект массой 1 кг, отбрасываете его от себя. В соответствии с законом сохранения импульса основную скорость получит 1-кг-объект, как менее массивный, и бросок будет примерно столь же "легким", как и на Земле. Но если вы попытаетесь оттолкнуться от объекта массой 1000 кг, то вы фактически оттолкнете себя от него, поскольку основную скорость в этом случае получите вы сами, и для разгона своих 70 кг придётся развить бОльшую силу. Чтобы примерно это представить, каково это, можете подойти сейчас к стене и оттолкнуться от неё руками.

Теперь вы вышли из станции в открытый космос и хотите поманипулировать каким-то массивным объектом. Пусть его масса будет, как упомянуто в посте http://pikabu.ru/story/kosmonavtyi_vruchnuyu_lovyat_5tonnyiy... (собственно, тот пост меня и сподвиг расписать всё это подробнее), пять тонн.

Честно сказать, я бы прямо очень поостерегся управляться с пятитонным объектом. Да, невесомость и все дела. Но достаточно лишь небольшой его скорости относительно МКС, чтобы прижать вам палец или чего-то посерьёзнее. Эти пять тонн сложно переместить: разогнать, остановить.

А уж представлять, как предложил один человек, себя между двумя объектами массой по 100 тонн и вовсе не хочется. Малейшее их встречное движение, и они вас с лёгкостью придавят. В полнейшей, что характерно, невесомости. )

Ну и наконец. Если вы будете весело лететь по МКС и ударитесь об стенку/переборку, то вам будет больно ровно так же, как если бы вы с той же скоростью бежали и ударились об стену/косяк в своей квартире. Потому что удар уменьшает вашу скорость (то есть сообщает вам ускорение со знаком минус), а ваша масса одинакова в обоих случаях. А значит по второму закону Ньютона и сила воздействия будет соразмерна.

Радует, что в фильмах про космос ("Гравитация", "Интерстеллар", сериал "The Expanse") всё более реалистично (пусть и не без огрехов типа Джорджа Клуни, безнадёжно оттаскиваемого от Сандры Буллок неведомой силой) отображают базовые вещи, описанные в этом посте.

Резюмирую. Масса "неотчуждаема" от объекта. Если объект сложно разогнать на Земле (особенно если вы постарались минимизировать трение), то его так же сложно разогнать и в космосе. А что касается весов, то когда вы на них становитесь, они просто измеряют силу, с которой их сдавливают, и для удобства отображают эту силу не в Ньютонах, а в кгс. Не дописывая при этом букву "с", чтобы вас не смущать. )