88

Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями

Сразу оговорюсь. Я понимаю, что всё нижеприведённое - детский сад по сравнению с расчётами, которые выполняют перед полётом реальных космических аппаратов. Но иногда хочется самому поиграться с числами в меру своих возможностей и компетенции. И вот подумал - выложу сюда, глядишь, кому-то будет тоже любопытно лишний раз убедиться, что всё работает. )


Как-то зимними вечерами я начал размышлять про то, что любая каменюка, которая прилетела на Землю, имеет минимальную скорость, равную второй космической (11 км/с), и нет у неё никакой возможности подобраться "по-тихому", с меньшей скоростью. Поскольку Земля - гравитационная яма такой "глубины".


Потом дошло, что простой подход к вычислению второй космической скорости на самом деле не настолько тривиален, как может показаться. Ведь как мы обычно поступаем? Берём формулу потенциальной энергии Eп = -GMm/R, подставляем бесконечное R, где потенциальная энергия равна нулю, вычитаем энергию при R = радиусу Земли, приравниваем эту разницу кинетической энергии m*v^2/2 и получаем простую формулу для второй космической:


v = (2GM/R)^0.5


Казалось бы, всё в порядке. Однако не все понимают, что мы тут неявно пользуемся рассуждением о том, почему мы пренебрегаем кинетической энергией, которую получает Земля при таком взаимодействии. А ведь и правда, почему мы можем этим пренебречь? Ведь импульс M*V Земля получает тот же самый (по модулю), что и разогнавшееся тело - m*v. Но если сравнить кинетическую энергию, которую получает Земля, выяснится, что она в M/m раз меньше кинетической энергии тела, и значит для любых разумных масс m ею можно пренебречь, и формула для второй космической становится верной, с высокой точностью.


Следующая мысль была такой - ну хорошо, если каменюка прилетает лоб в лоб Земле, то она имеет скорость 11 км/с. Ну а если она пролетает рядом, например по касательной к орбите МКС, то вроде как понятно, что её минимальная скорость тоже будет 11 км/с (это понятно из того же сохранения энергии), но мне захотелось это напрямую промоделировать исходя лишь из притяжения Земли с силой GMm/R^2, благо задача несложная, а компьютер - штука тупая, но очень быстрая - и поможет мне всё это нарисовать.


Сказано - сделано. Сделал расчет в цикле, где тело стартует с некой начальной скоростью v0 с орбиты МКС (взял радиус от центра Земли = 6700 км), и далее делаю следующее: пролетаю в течение малого времени dt с текущей скоростью (то есть перемещаю его на v*dt), затем векторно прибавляю к скорости произведение ускорения на dt, и на этом собственно всё, перехожу к следующей итерации. Все расчёты векторных величин веду в проекциях на X и Y.


Для начальной скорости 7.7 км/с получилась такая картинка (вторую половину эллипса я не рисую): круговой облёт Земли на расстоянии 6700 км от центра. Посчитал для такого радиуса, на всякий случай уточнил в интернетах - совпало со скоростью МКС, всё в порядке.

Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями Космос, Орбита, Длиннопост

Далее - начинаем увеличивать начальную скорость с шагом 50 м/с. При v0 = 9.45 км/с наш эллипс доходит до орбит спутников GPS - 20 тыс. км, касаясь их на скорости 3.2 км/с, и потратив на половину эллипса 2.1 часа:

Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями Космос, Орбита, Длиннопост

На следующем рисунке объединены несколько полуорбит с начальными скоростями от 10.65 до 10.85 км/с (с шагом 0.05). Параметры приведены на рисунке. Для ориентира приведено расстояние до орбиты Луны (разумеется, без учёта её нахождения в том месте и гравитационного поля от неё):

Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями Космос, Орбита, Длиннопост

И наконец рисунок в последнем масштабе - Земля уже занимает несколько пикселей с левого края рисунка. Две начальные скорости - 10.90 и 10.95 км/с. В первом случае крайнее расстояние до планеты составило 1.5 млн.км, во втором - тело наконец отрывается от Земли и улетает в космос. Расчёты, разумеется, неточные, все эти пошаговые вычисления могли накопить ошибки (и накопили), но порядок крайней величины, исходя из второй космической скорости для R = 6700 км, получился верный - 10.9 км/с.

Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями Космос, Орбита, Длиннопост

И в конце приведу график, в котором просуммированы все расчёты в виде трёх графиков (чтобы уложить их на одну вертикальную ось, я сделал её в логарифмическом масштабе) спустя половину периода обращения: скорость V end, время t, расстояние до центра Земли R_end. Например по графику видно, что при начальной скорости 10.1 км/с тело коснётся геостационарных орбит через 5 часов на скорости менее 2 км/с.

Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями Космос, Орбита, Длиннопост

Дубликаты не найдены

46 комментариев

по актуальности
+6
Ты сейчас с кем разговаривал?
раскрыть ветку 1
+3

С теми несколькими десятками человек, которые поставили плюс. )

+5

Покажите кто-нибудь человеку KSP :)

раскрыть ветку 10
0

ну вот, ксп все популярнее :)

0

А как же "Orbiter"?

Проект, к сожалению, не развивается, но все же забывать пока его не стоит

раскрыть ветку 1
0

Почему не развивается? Вон даже 2016 год вроде в названии фигурирует. )

Orbiter Space Flight Simulator 2016 Edition

0

Мне уже советовали месяц назад, но руки пока не дошли )

раскрыть ветку 6
0
0

будешь такие посты мне в ленту выкладывать - руки быстрее дойдут. И я, и господин @MozGdx - мы поможем. :)

раскрыть ветку 4
+2
Это от скуки или попытка отвлечься от более важных дел?
0

Как-то зимними вечерами я начал размышлять про то, что любая каменюка, которая прилетела на Землю, имеет минимальную скорость, равную второй космической (11 км/с), и нет у неё никакой возможности подобраться "по-тихому", с меньшей скоростью. Поскольку Земля - гравитационная яма такой "глубины".

Я вот тут немного не понял, разве минимальная, а не предельная скорость должна равняться 2 космической (плюс поправки на радиус в перицентре), что бы каменюка прилетела на Землю, а не исполнила гравитационный манёвр? Если объект попал в гравитационную сферу влияния, то чем меньше его дельта, тем быстрее он будет падать, вроде так же.

раскрыть ветку 8
+3
разве минимальная, а не предельная скорость должна равняться 2 космической

Тоже вас не совсем понял. Вторая космическая определена около планеты. Если вы с ней стартуете от планеты, то только-только "выползаете" из гравитационной ямы планеты, и у вас остается околонулевая скорость. А если наоборот, вы камень с околонулевой скоростью вдалеке от Земли, и оказались захвачены полем Земли, то ваша скорость около поверхности Земли будет = 11 км/с. А если у вас еще и ненулевая скорость была (относительно Земли), то около поверхности Земли будет ещё больше 11 км/с. Итого - 11 км/с это нижняя граница скоростей любых прилетающих на Землю астероидов.

раскрыть ветку 7
0

Агааааааа, понял. И прям сразу понял, какую дичь выше написал. Спасибо.

раскрыть ветку 6
0
Не для моего ума
0

трава забористая у автора

0
Чертит студент на доске окружность, а она у него ровная получается.
Как будто циркулем нарисовал. Препод его спрашивает:
- Вы где научились так окружности рисовать?
- А я в армии два года мясорубку крутил.
0
И какой же вывод? Вывод то какой?
раскрыть ветку 3
0

Вывод:

* метод прямого моделирования разбиванием траектории на мелкие участки дает приемлемую точность расчетов, согласующуюся с сохранением энергии;

* вот так несложно каждый, кому это интересно, может помоделировать разные ситуации полётов в космосе;

* попутно дошло, что закон сохранения энергии не так прост, как многим кажется (см начало статьи);

* ну и просто хотелось посмотреть на эллипсы и пощупать эту механику )

раскрыть ветку 2
0
Так, для "поумничать". Численные методы решений уравнений наверное Эйлера или Рунге-Кутта использовались? И скорость КА на ГСО чуть больше 3км/с.
А если дальше щупать, то уже можно заморочится с учётом влияния светового давления, притяжения Луны. Может унести в такие дали, что трудно будет остановится
раскрыть ветку 1
0
Вы меня простите, но с чего бы...а лучше начать с другого, чтобы не было недопонимания: импульс есть изменение момента сиречь количества движения под воздействием сил. Самый простой пример - 10т грузовик врезался в 2т машину, оба объекта шли с одной скоростью, в результаты импульс обоих изменился, но тут-то с чего бы меняться импульсу планеты Земля? Как в данном случае объект из космоса воздействует на движение земли?
раскрыть ветку 6
0

"с чего бы меняться импульсу планеты Земля?" - С третьего закона Ньютона. Если Земля действует на тело с силой F, то тело действует на Землю с силой -F

раскрыть ветку 5
0
В данном случае если только одна сила, которая действуют между планетой и телом - притяжение, но в данном случае оно настолько незначительно для планеты, что ей можно пренебречь.
раскрыть ветку 1
0
НоНо смотри, у нас объект не только притягивается землёй но и сам её притягивает. А значит, ускорения и скорости перед столкновением будут обратно пропорциональны массам. А при столкновении эти импульсы взаимно компенсируются, т.е. добавочный импульс земли из-за взаимодействия с телом уйдёт. А значит, полный импульс земли снова станет прежним, как и до взаимодействия.
раскрыть ветку 2
0
Чем график рисовал?
раскрыть ветку 4
+2
Маслом)
раскрыть ветку 2
0
Я серьезно интересуюсь бизнес графикой
раскрыть ветку 1
0

Последний график - в древнейшем Origin Pro 7.0. Первые рисунки - в своей прожке на Делфи.

0
Вот жешь..
-1

А ведь раньше основы ракетного движения входили в курс школьной программы. Автор покури хоть формулу Циолковского, для начала. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83...

раскрыть ветку 2
0
раскрыть ветку 1
0

Так и считай с расходом рабочего тела :)

Похожие посты
Похожие посты закончились. Возможно, вас заинтересуют другие посты по тегам: