Как работает сферическое зеркало?

Астрономы любители знают, что оптические элементы, из которых создают телескопы, могут быть разными - линзы, зеркала, мениски, и другие. Их поверхности могуть быть разной формы. Самые часто встречающиеся - эллипс, парабола, гипербола, сфера и плоскость. "А как они работают?" Не пытаясь пересказать учебник оптики (к которому лучше будет обратиться, если вас заинтересуют детали), попробуем понять работу самого простого зеркала, которое может быть главным в телескопе - сферического!

На приложенном изображении вы обнаружите:

1) Дугу окружности (справа), изображающей поверхность сферического зеркала с радиусом кривизны R;

2) Пунктирную линию, проходящую через точки A и C - которую мы назовём оптической осью системы (если бы зеркало было бы установлено в телескоп, то именно осью "он бы и смотрел" на рассматривыемые объекты;

3) Лучи света, падающие на наше зеркало, отмеченные синим, фиолетовым, оранжевым и зелёным цветом;

4) Точки: A (центр кривизны поверхности зеркала), B (точка падения одного из лучей на поверхности зеркала), С (точка пересечения рассматриваемого луча, отражённого от зеркала, с оптичесческой осью), O (центр зеркала), F (о которой - чуть позже).

Так как же оно "работает"? Когда мы говорим от телескопе, то можем считать что от отдельных наблюдаемых точечных объектов лучи в его оптическую систему попадают уже параллельными - потому все они очень далеко. Возьмём, для примера, луч обозначенный синим цветом. Он падает на поверхность зеркала в некоторой точке B, отражается и идёт дальше, пересекая оптическую ось в некоторой точке C. Чтобы понять, что это за точка - построим сначала линию AB, соединяющую центр кривизны сферического зеркала и точку падения луча. Это - радиус кривизны R! А значит - он перпендикулярен поверхности, а так как, угол падения луча, равен углу отражения, то:

1) угол между падающим лучом и радиусом, равен углу ABC,

2) так как этот и другие лучи параллельны оптической оси то прямая, на которой лежит радиус AB - является секущей для параллельных, образуемых осью и лучами;

3) а уже из (1) и (2) следует, что углы, обозначенные красным - одинаковы и равны углу A, а треугольник ABC - равнобедренный. Также, как и прочие треугольники, которые будут образовываться другими подобным лучами, падающими на другие участки зеркала.

А так как ABC - равнобедренный треугольник, то R = AB = 2*AC*cos(A) и, соответственно: AC = R/(2*cos(A)). Удобнее, однако, работать с другим расстоянием - не от центра кривизны, а от поверхности зеркала до точки пересечения лучами оптической оси. Впрочем, она получается очень просто: OC = R - AC = R - R/(2*cos(A)) = R*(1 - 1/(2*cos(A)).

Легко видеть, что чем ближе к оптической оси падают лучи, чем меньше угол A, тем ближе это расстояние ровно к половине радиуса - когда угол A стремится к 0, то его косинус - стремится к 1, расстояние стремится к R*(1 - 1/2) = R/2, а точки C и F начинают почти совпадать. Именно это расстояние (R/2) и называют фокусным расстоянием сферического зеркала и именно поэтому буквой F обозначена точка посередине между точками A и O - центром кривизны зеркала и её поверхностью.

Конечно, как легко видно из этих простых выкладок (и что показано на рисунке) - лучи не собираются в точке F, но при создании зеркал, отношение между радиусом кривизны и диаметром зеркала выбирается с несколько раз больше, чем показанное на рисунке. В реальности оно соответствует примерно оранжевому лучу, из-за чего телескопы с вроде бы простым сферическим зеркалом, при при достаточно большом фокусном расстоянии, могут давать хорошое изображение. И, более того, именно поэтому Иссак Ньютон когда-то и смог сделать первый рефлектор, а сейчас астрономы любители могут делать зеркала и телескопы своими руками! (Мы, например, это делаем в известном среди астрономов-любителей Подвале ВАГО).