Уравнение распространения коронавируса
Предпринимаются попытки описать распространение коронавируса уравнением Ферхюльста. Это все рано что пытаться натянуть сову на глобус… четырехмерный. Ниже будет дано объяснение почему уравнение размножения популяции не подходит для моделирования распространения вируса. Любого вируса и любого инфекционного заболевания.
Уравнение Ферхюльста
Уравнение Ферхюльста — это дифференциальное уравнение, которое описывает модель зависимости численности популяции от времени. Казалось бы оно должно идеально подходить для описание распространения вируса, так как распространение вируса — это рост его популяции на кормовой базе (люди). Но если посмотреть на уравнение Ферхюльста видно что оно зависит только от времени и никак не зависит от пространственных координат. А интуитивно и из повседневного опыта понятно, что распространение заболеваемости носит ярко выраженный неравномерный характер, в зависимости от местоположения. То есть, уравнение Ферхюльста можно было бы применять, если бы во всех точках земли заболеваемость развивалась одновременно. Но такого никогда не наблюдается.
Какую модель надо использовать
Если модель Ферхюльста не подходит, то какую модель можно использовать? Напишем исходные требования к модели, исходя из очевидных соображений:
Вероятность контакта должна падать с увеличением расстояния между теми, кто входит в контакт.
Например, вероятность контакта жителя Москвы с жителем Нью-Йорка достаточна мала, а с соседом по лестничной площадке близка к 100%.
Вероятность контакта должна зависеть, совершенно очевидно, не только от расстояния, но и от распределение плотности населения.
Заразить в сибирских лесах просто некого, хотя они находятся на таком же расстоянии от Москвы, как и Мадрид (приблизительно, не проверял. В данном контексте это не важно)
Как показал опыт, по крайней мере коронавирус, по разному распространяется в разных странах, при вроде бы одинаковых условиях проживания, например, в Италии и Германии.
Свойства модели распространения вируса
Даже не зная вида дифференциального уравнения, можно сформулировать требования к свойствам решений этого уравнения.
Совершенно очевидно, что при некоторых начальных условиях (заданных распределениях плотности населения, вероятности контакта от расстояния и вероятности передачи вируса при контакте) должны присутствовать семейство решений очагового характера. Например вирусом переболела только одна деревня или несколько соседних и на этом эпидемия прекратилась.
Свойства дифференциальных уравнений
Даже небольшие изменения в виде дифференциальных уравнений практически всегда приводят к принципиальному изменению вида семейства решений.
Часто выражений для таких функций (в аналитическом виде) просто не существует.
Но это не значит что самих решений не существует!!
Решение для одного уравнения сильно зависит от начальных условий, когда вид семейства функций решения принципиально меняется.
Простейший и понятный всем пример со школы — движение маятника (для простоты на жестком подвесе).
При малых колебаниях это почти гармонические колебания (период колебаний не зависит от амплитуды).
При увеличении амплитуды — движение перестает быть гармоническим колебанием.
В какой-то момент движение может перейти в неравномерное круговое.
С отдельным выделенным положением и семейством решений — зависание в верхней точки.
Это были описаны случаи для решения простейшего дифференциального уравнения в зависимости от одного начального условия (скорость в нижней точке)
Другим известным примером, является игра «Жизнь». Это 2-х мерное моделирование развитие вируса исходя из очень простых законов — 0-2 соседей — вирус умирает от от «одиночества», 3-4 размножается (удваивается), 5-6 просто остается жить, 7-8 умирает от перенаселения. Условия могут меняться.
Так вот, в зависимости от начальной конфигурации вирусов, развитие популяции сильно меняется! Можете поискать в интернете и поиграть.))
Дифференциальное уравнение для распространения эпидемии
Читатели, наверное, уже догадались — раз много текста и нет формул, автор сам не знает этого уравнения. Совершенно верно. То есть, общий вид уравнения понятен, но он совершенно не позволяет его решить. Собственно это локальное уравнение Ферхюльста с дополнительным членом, ответственным за перенос заразившихся, и с зависимостью от пространственных координат:
Р — локальное количество заразившихся
r — локальный коэффициент заразности, вероятность заразиться при контакте с больным
K — локальное население
S — локальный коэффициент связанности, входящий поток из других точек планеты
Я не знаю, имеет ли это уравнение аналитическое решение даже для «плоского» случая распределения населения и связанности. Но для реального распределения населения и связанности точно нет.
Численное решение уравнения распространения эпидемии ⇧
Многие дифференциальные уравнения могут быть решены численными методами. В данном случае это представляется невозможным, так как точно неизвестен параметр r, не известен коэффициент связанности S, особенно перемещения на уровне города.Ну и, вообще говоря, не известно начальное распределение P.
Прогнозирование распространение эпидемии
Может быть сделан прогноз. Но не по времени распространения, а только по конечному результату — сколько всего заразится, и сколько всего умрет. Причем, результат первого параметра, сильно зависит от общего охвата тестирования населения.
На этом вводная лекция «Введение в дифференциальные уравнения эпидемий» закончена. Давайте ваши зачетки.))
Измерение ускорения свободного падения при помощи пружинного маятника
В интернете можно найти только один способ как измерить ускорение свободного падения при помощи пружинного маятника и этот метод заключается в том, что бы сбросить его из окна засечь время и померить высоту и далее по формуле L=gt²/2 найти ускорение свободного падения. Но чет мне кажется, что я нашел другой метод :)
Переведем маятник в вертикальное положение, как показано на рисунке, и введем ось ОХ вертикально вниз так, чтобы точка 0 находилась на одном уровне с концом пружины (без груза).
Нулевым моментом времени будет тот момент, когда мы только повесили груз. Очевидно, что координата и скорость в нулевой момент времени равны нулю.
Запишем второй закон Ньютона (сразу в проекции на ось)
ma = mg - kx, где m – масса груза, а k – жесткость пружины.Перепишем в дифференциальной форме:
Получаем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Для его решения необходимо решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Для решения этого дифференциального второго порядка необходимо решить характеристическое уравнение:
При его решении не должно возникнуть никаких проблем
Зная корни характеристического уравнения мы можем найти корни нашего однородного диффура второго порядка:
Теперь необходимо найти какое-либо частное
решение x1 неоднородного диффура второго порядка.
В нашем случае это можно очень просто сделать подбором.
Пусть x1 = C, C ∈ ℝ. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:
Отсюда находим C и соответственно x1:
Зная x0 и x1 мы можем найти решение нашего начального неоднородного диффура второго порядка прибавив наши завоеванные трофеи x0 и x1.
Необходимо найти константы C1 и C2.
Ранее было сказано, что координата и скорость в нулевой момент времени равны нулю. Т.е. мы можем определить две константы просто решив уравнения x(0) = 0 и v(0) = x’(0) = 0.
Теперь зная все константы можно записать окончательное решение:
Отсюда следует, что
Но как узнать массу грузика или жесткость пружины не зная ускорение свободного падения?
Очевидно, что
А частоту уже можно измерить при помощи секундомера.
Наша формула принимает следующий вид:
Так же я проверил эту формулу экспериментально и получил g=8,7 (достаточно хорошая точность учитывая то, что у меня были далеко не самые точные измерительные приборы)
(к слову при помощи математического маятника я получил g=10,5)
КОРРЕКТНОСТЬ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРОВЕРЕНА ПРИ ПОМОЩИ WolframAlpha
Спасите глупого студента
Помогите пожалуйста решить то, в чем я никогда не был силен. Иначе все.
50 оттенков ненависти или коротко о страшном в математике
Зарекся писать, но судьба злодейка вновь вывела меня на эту кривую.
И так, коротко, почему я решился на второй пост. Пишу свою многострадальную дипломку и наталкнулся на такой вот пост https://pikabu.ru/story/zachem_nuzhnyi_differentsialnyie_uravneniya_2985467
Отличный пост, просто замечательный, с одним лишь но, думаю понятен он лишь тем, кто уже и так всё это понимает, для остальных же, всё так и осталось магией.
Не будем ходить вокруг да около и начнем нашу вечеринку!
Дифференциальные уравнения. Как много старшного в этих двух словах и как на самом деле это всё легко.
Для начала вспомним самые простые вещи, а имеено, есть график самой обычной прямой линии. Например такой
Эта прямая линия обладает некоторыми простыми свойствами, в которые вдаваться нам не важно, важно что эти свойства называются функцией и наша прямая линия чертится по этим свойствам, тоесть по этой функции.
Это статический варьянт, тоесть у нас есть эта функция и она никак не меняется, во веки веков.
А теперь представим, что кроме загадочных Х и У, есть еще и переменная t, которая отсчитывает время от 0 и дальше.
"Пайнт мастер 99 лвл!"
Так вот, дифференциальное уравнение, это просто такое уранение, которое описывает изменения нашей функции и всех ее производных(если возникает вопрос, "что это?", честно скажу ответ требует отдельного поста) во времени (грубо говоря).
В качестве примера возьмем график теплопроводности
Есть какая функция, где Temperature(температура) изменяется в зивисимости от параметра(length), или наоборот, length изменяется от температуры, но это не важно. Важно что t(время) указывает на то, как эта функция изменяется со временем. И если представить ее в трехмерном виде, получим такой вот график
А для более полного образа, вот и анимация
Надеюсь все просто и понятно, так же после этого, указанный в ссылке пост, на мой взгляд становится более доступным для понимания.
Где это все используется? Да везде, где необходимо учитывать изменение относительно времени: экономика, физика, медицина и т.д.
Зачем я это написал?(Ремарка для студентов и абитуриентов)
Бытует мнение, якобы в школах/универах нас учат глупостям и надо бросить учебы,чтобы стать Билл Гейтцем. Да, подовляющему большинству, даже таблицу умножения знать не обязательно для работы. Однако, это не от того вовсе, что всё это туфта или бесполезные глупости, а потому что это наш выбор... И не важно, что учителя плохие, или погода не лётная, мы живем в мире жесткой конкуренции, где мы либо тянем себя за волосы вверх, либо так и остаемся в той точке, где всё это магия...
Книги по матанализу, дифурам, интегральному исчисления и т.д
Добрый день, уважаем пикабушники! 7 лет назад окончил универ, теперь вот взяться за ум решил. Подскажите, по каким книгам у нас в универах матан сейчас изучают. Хотелось бы теорию по матану, с первого курса технических факультетов, либо физика радиофизика, дифуры, интегральное исчисление, ну и теорию вычетов(теорию и практику).
Мужчина был допрошен экипажем самолёта во время полета за то что занимался математикой.
Женщина, сидевшая рядом, с экономистом Лиги плюща пожаловалась стюардессам что он пишет что-то на иностранном и представляет угрозу безопасности. Как оказалось это были дифференциальные уравнения.
Сможете найти на картинке цифру среди букв?
Справились? Тогда попробуйте пройти нашу новую игру на внимательность. Приз — награда в профиль на Пикабу: https://pikabu.ru/link/-oD8sjtmAi
Помогите с матаном
Привет пикабушники, прилетело моему знакомому такое задание. Может, кто-нибудь подскажет, что здесь вообще нужно делать? Я не могу разобраться, то ли это диффур, то обычное интегрирование. Просто объясните, что требуется, а дальше я сам разберусь (люблю я такие задачки)