Система единиц измерения, используемая нами в повседневной жизни, вполне нас устраивает. Мы все имеем прекрасное представление о метре, килограмме, секунде. Тем не менее, людям, которые занимаются научными изысканиями, этого мало, так как зачастую они исследуют объекты либо слишком огромные, такие как галактики, либо слишком малые – такие как атомы. Действительно, хотя мы и можем выразить размеры любого объекта через метры, используя приставки, мы уже с трудом понимаем, чем, например, пикометр отличается от аттометра. Подавляющее большинство из нас даже не сможет сказать, что больше, а многие – вообще не слышали о таких приставках.

В 1899 году немецкий физик Макс Планк раздумывал, наверное, над чем-то подобным, потому и написал следующее:

Все до сих пор используемые системы единиц, в том числе так называемая абсолютная СГС-система, обязаны своим происхождением пока что случайному стечению обстоятельств, поскольку выбор единиц, лежащих в основе каждой системы, сделан не исходя из общей точки зрения, обязательно приемлемой для всех мест и времён, но исключительно исходя из потребностей нашей земной культуры…

Результатом его раздумий явилась работа, опубликованная в 1900 году, в которой он предложил систему единиц измерения…

…которые не зависели бы от выбора каких-либо тел или веществ и обязательно сохраняли бы своё значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих, и которые поэтому можно было бы ввести в качестве «естественных единиц измерений».

Макс Планк - герой этого поста

Забегая вперёд, скажу, что данный труд впоследствии был использован в большей части теоретической физики, а большинство общепринятых в настоящее время единиц измерения выведены напрямую из системы измерений, названных в его честь: Планковскими единицами.

До чего же он додумался? Предлагаю вместе пройти по пути его рассуждений.

Представим, что у нас есть пара электронов на расстоянии r друг от друга:

Что будет происходить, если бы мы начали сводить эту пару электронов всё ближе и ближе друг к другу?

1. Поскольку электроны обладают массой, между ними будет иметь место сила гравитационного притяжения, стремящаяся их сблизить.

2. Так же, мы знаем, что электроны имеют отрицательный электрический заряд, поэтому между ними будет иметь место электростатическая сила, расталкивающая их друг от друга.

Какая же из двух сил будет сильнее по мере их сближения (когда r → 0)? По закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя электронами будет выражена формулой:

Fg = G m₁ m₂ / r² – сила прямо пропорциональна произведению масс электронов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В нашем эксперименте, m₁ и m₂ одинаковы и равны массе электрона, которую можно просто обозначить m, и переписать уравнение так:

Fg = G m² / r²

Сила электростатического расталкивания определяется по закону Кулона по такой формуле:

Fe = Q₁Q₂ / 4 πε₀ r² – эта сила прямо пропорциональна произведению двух зарядов и так же – обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В данном случае, коэффициент пропорциональности задаётся ε₀ - электрическая постоянная (электрическая проницаемость вакуума). В нашем примере обе величины Q₁ и Q₂ равны e – заряду электрона, поэтому, формулу можно переписать так:

Fe = e² / 4 πε₀ r²

Посмотрим на отношение сил, чтобы понять, какая из них будет преобладать Fe / Fg = ? Запишем отношение:

Fe / Fg = e² / 4 πε₀ Gm²

Первое, что можно заметить, что r² сократилось, а это значит, что отношение двух сил никак не зависит от расстояния между двумя электронами и всегда будет одним и тем же (Хаха, нет! Но об этом позже). Зная значения всех элементов данного уравнения, подставив их и произведя расчёты, мы получим:

Fe / Fg = e² / 4 πε₀ Gm² ≈ 10⁴²

Иными словами, сила электростатического расталкивания превышает силу гравитации на 42 порядка! Чтобы полнее ощутить масштабы, запишу так:

Fe ≈ 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 * Fg.

Во столько раз гравитация слабее электромагнетизма, но именно гравитация была обнаружена первой. Почему? Потому что атомы, из которых состоит вещество, электрически нейтральны, положительный заряд протонов компенсируется отрицательным зарядом электронов. Из-за нейтральности атомов мы просто не замечали исключительно сильное электромагнитное взаимодействие. Гравитация – другое дело. Насколько можно судить сейчас, такой штуки как «отрицательная масса» не существует (во всяком случае, до сих пор никому не удалось обнаружить ничего похожего), поэтому два тела, обладающих массой, будут всегда испытывать взаимное притяжение.

Упрощённая Ньютоновская модель позволила нам сделать вывод о том, что отношение сил электростатического расталкивания и гравитации вообще не зависят от расстояния между двумя электронами, но, к сожалению, реальный мир не всегда так прост, как наши математические модели. Как обычно, её величество квантовая механика всё портит.

Чем меньше становится расстояние между электронами тем сильнее проявляется роль принципа неопределённости Гейзенберга (подробнее можно почитать в этом моём посте) – чем точнее мы пытаемся определить положение электронов в пространстве, тем сильнее разброс в их импульсах, тем больше они «дрожат», а чем сильнее эта «дрожь», тем выше их энергия. В какой-то момент, эта энергия становится достаточной для того, чтобы создать новый электрон (принцип эквивалентности массы и энергии А. Эйнштейна, знаменитое уравнение E = mc²). На самом деле мы можем легко посчитать расстояние между электронами, при котором наступят подобные условия, скомбинировав уравнение Эйнштейна с неравенством принципа неопределённости Гейзенберга.

Запишем уравнение таким образом: если мы ограничиваем объект в определённой области пространства размера ∆x, неопределённость в импульсе такого объекта ∆p должна быть примерно больше ħ / ∆x:

∆p ≳ ħ / ∆x

(ħ – редуцированная Планковская константа – просто коэффициент преобразования между энергией фотона и его частотой. На данном этапе достаточно понимать, что это константа).

В нашем случае с двумя электронами ∆x = r – расстояние между ними (∆p ≳ ħ / r).

Если импульс объекта растёт, очевидно, что растёт и энергия данного объекта, поэтому мы можем выразить энергию в данном выражении, умножив обе части на скорость света (с):

∆E ≳ ħ c / r

Кто сомневается, может вспомнить, что импульс – это произведение массы на скорость, а произведение единиц импульса (кг•м/с) на скорость (м/с) даст вам выражение единицы энергии (Джоуля) по определению (1 Дж = 1 Н•м=1 кг•м²/с²).

Из этого соотношения мы видим, что при уменьшении r, ∆E будет увеличиваться. Эта как раз энергия той квантовомеханической «вибрации», которую мы упускали из виду, используя уравнения классической механики. Теперь, имея на руках это соотношение, мы можем «прикинуть», какому расстоянию между электронами будет соответствовать энергия, достаточная для создания массы электрона по уравнению Эйнштейна (∆E ~ mc²), где m – масса электрона. Иными словами, нам нужен ответ на вопрос, когда соблюдётся отношение:

r ≲ ħ / mc

Подставив известные значения констант и массы электрона, мы получим:

ħ / mc ≈ 10⁻¹³ м

Это расстояние меньше среднего размера атома, которое составляет примерно 10⁻¹⁰ м, но сильно больше размера ядерного ядра (10⁻¹⁵ м). Иными словами, полученная величина говорит нам о том, что если мы попытаемся сблизить два электрона на расстояние, меньшее 10⁻¹³ м, квантовая неопределённость в их энергии будет достаточной для создания нового электрона. То есть, на этом расстоянии уже нельзя пренебрегать ни квантовой механикой, ни теорией относительности.

Но что будет, если мы будем продолжать сближать электроны друг к другу? Мы уже убедились, что согласно Гейзенбергу, с уменьшением расстояния ∆x растёт энергия ∆E, а согласно Эйнштейну, это эквивалентно добавлению массы в нашу систему. А раз гравитация у нас взаимодействует с массой, то расти будет и Fg (гравитационное притяжение между электронами)? С ростом массы, соотношение сил электростатического расталкивания и гравитационного притяжения уже не будет оставаться неизменной величиной, посчитанной нами ранее (10⁴²).

И так, следующий вопрос, на который нам надо найти ответ – при какой расстоянии между электронами гравитационное притяжение станет сравнимым с электростатическими силами, расталкивающими заряды по закону Кулона?

Для этого, мы просто должны выяснить, при каком значении m, выполнится данное условие:

Fe / Fg = e² / 4 πε₀ Gm² ≈ 1

Преобразуем уравнение к следующему виду:

Теперь, это значение массы можно преобразовать к энергии и подставить в выражение принципа неопределённости. После всех преобразований, получим:

r ≲ ħ / mc ≈ 10⁻³⁴ м

На этом расстоянии, гравитационное притяжение между электронами уравновесит силу их электростатического расталкивания, но что произойдёт, если мы продолжим уменьшать расстояние между электронами? Разумеется, гравитационное взаимодействие будет только увеличиваться, но будет ли это продолжаться всегда?

Оказывается, что нет. В дело снова вступит теория относительности и предъявит свой самый эффектный козырь – чёрную дыру. Здесь нужно чуть отвлечься от наших электронов и разобраться, какие условия вообще способствуют образованию чёрной дыры.

Давайте рассмотрим тело с малой массой m, расположенное на поверхности большего тела с массой M.

Между этими двумя телами действует сила гравитационного притяжения, выраженная формулой:

F = G Mm / r²,

… и, чтобы оторвать малое тело от поверхности большого, мне необходимо совершить работу по преодолению этой силы. Если я удалю малое тело от большого на некоторое расстояние dr, я совершу работу:

dW = F dr = (GMm / r² ) dr

Но если мне потребуется понять, какую работу мне необходимо совершить, чтобы удалить малое тело на бесконечно большое расстояние, так как сила притяжения между двумя телами будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между этими двумя телами – надо будет проинтегрировать:

чтобы убедиться, что полная работа будет равняться:

W = GMm / r

По мере удаления m от M, тело будет набирать потенциальную энергию, и полная величина этой потенциальной энергии будет равняться полной проделанной работе.

Вооружившись этим знанием, я могу задаться вопросом, с какой скоростью мне надо подбросить m, чтобы оно вырвалось из области гравитационного притяжения M. Или, если перефразировать: какую скорость надо придать m, чтобы оно смогло удалиться на произвольно большое (бесконечное) расстояние от M?

Поскольку я только что посчитал, какая энергия необходима для этого, мне достаточно сообщить m такую же кинетическую энергию. Зная формулу кинетической энергии, получаю:

½ mv² = GMm/r

Решаем уравнение в отношении v (скорости) и получаем:

в русскоязычной терминологии эта скорость получила название «Вторая космическая скорость» (скорость освобождения или скорость убегания). Для Земли эта скорость составляет приблизительно 11 км / с, а, например, для Юпитера – уже около 60 км / с.

Из формулы видно, что вторую космическую скорость определяют два фактора – масса тела и его радиус – большая скорость освобождения требуется не только при старте с массивного объекта, но и с более плотного (чем в меньший объём «упакована» масса, тем сложнее с неё улететь).

И следующий вопрос, которым может озадачиться пытливый ум – а что случится, если объект будет настолько плотным, что вторая космическая скорость для него сравняется со скоростью света? Такие объекты получили название «чёрная дыра», так как даже свет не может покинуть их окрестности. Уже зная формулу, мы можем просто подставить в уравнение скорость света и решить его для любой массы (плотности), а преобразовав его для r – получим уравнение радиуса, внутрь которого необходимо «упаковать» массу M, чтобы образовалась чёрная дыра:

Rs = 2GM / c²

Эту величину называют «Радиусом Шварцшильда», в честь немецкого физика Карла Шварцшильда, который впервые решил уравнения Эйнштейна для такого случая и, тем самым, предсказал существование чёрных дыр.

Так какое отношение это всё имеет к нашим электронам? Самое непосредственное. Мы уменьшаем расстояние между ними, масса системы растёт, а размеры уменьшаются. Рано или поздно мы «упакуем» их достаточно плотно, так, чтобы в этой области пространства сформировалась чёрная дыра. А, имея необходимые формулы, мы можем вычислить, когда это произойдёт.

Во-первых, мы можем оценить, сколько гравитационной массы содержится в системе из двух электронов на расстоянии r друг от друга (r ~ ħ / mc). И так же, мы только что посчитали, как радиус Шварцшильда связан с гравитационной массой (r ~ Gm/c²). Объединив эти два уравнения, мы увидим, что m сократится, а всё, что останется можно записать следующим образом:

Что примечательно, если внимательно приглядеться к этой формуле, можно заметить, что она целиком состоит из констант и никак не содержит никаких других параметров. Мы можем взять не только электроны, но и любые иные два объекта, и если мы уменьшим расстояние между ними до 10⁻³⁵ м, в данном объёме неизбежно возникнет чёрная дыра и на этом этапе мы больше не сможем извлечь никакой дополнительной информации из системы. Даже если вы захотите «вкачать» в систему ещё больше энергии, это приведёт лишь к росту этой чёрной дыры.

Мы подошли к фундаментальному пределу, точнее которого мы физически не в состоянии ничего измерить. Данный предел, по фамилии его первооткрывателя носит название Планковская длина. Это граница, где заканчиваются даже наши теоретические возможности познания пространства. Примечательно, что на данном пределе и квантовая механика и теория относительности становятся одинаково важны.

Тут человек, знающий историю научных открытий, может спросить – но ведь Планк опубликовал свои труды раньше, чем Эйнштейн опубликовал свою теорию относительности, да и до открытия принципа неопределённости было ещё далеко!

Поэтому сейчас мы пройдём по пути, пусть менее наглядному, но доступному Максу Планку в самом конце 19 века.

В наших выкладках можно увидеть постоянное использование 3 разных констант из трёх областей физики. Мы использовали постоянную Планка-Дирака (E = ħω) , основную константу квантовой механики; так же – скорость света (E = mc²), основную константу общей и специальной теории относительности, а так же Ньютоновскую универсальную гравитационную константу (F = G (m1m2 / r²). Здесь можно задаться вопросом – каковы фундаментальные, базовые единицы измерения для этих трёх констант?

Все возможные единицы измерения являются производными от 7 базовых:

Расстояние – метр, м

Время – секунда, с

Масса – килограмм, кг

Электрический ток – Ампер, А

Количество вещества – моль

Интенсивность света – канделла, Кд

Температура – кельвин, К

(четыре последних нас сейчас не интересуют, они приведены просто для комплекта)

Любая другая величина выражается через использование этих семи. Например, скорость выражается как расстояние, преодолённое за время (метры в секунду, м/с), ускорение будет выражено как изменение скорости за единицу времени (метры в секунду за секунду или м/с²)

Как же выражаются используемые константы скорости света, гравитационной постоянной и постоянной самого Планка?

Скорость света (с) – это просто – м/с.

Постоянная Планка-Дирака (ħ) уже сложнее – исходя из определения, видно, что она имеет в себе единицы энергии, разделённые на частоту ħ = E / ω, где в числителе мы имеем энергию (Джоуль – это сила * расстояние, или 1 Дж = 1 Н•м=1 кг•м²/с²), а в знаменателе – частоту ([ω] = [2πf]) = Гц (раз в секунду или с⁻¹). Совместив единицы, мы получаем единицы измерения постоянной Планка (ħ): кг*м²/с.

Ну и гравитационная постоянная (G) выражается следующим образом:

Теперь, зададимся вопросом, а можем ли мы при помощи этих констант выразить длину?

Именно этот вопрос задал себе Макс Планк более 100 лет назад. Можно ли при помощи этих трёх фундаментальных констант создать новую единицу измерения длины? Трюк, который он придумал – записывать их как произведение G в какой-то степени α, ħ в какой-то степени β и с в какой-то степени γ:

Тогда его задача сводилась к определению степеней α, β и γ, таким, чтобы комбинации:

[c] = м с⁻¹

[ħ] = кг м² с⁻¹

[G] = кг⁻¹ м³ с⁻²

сводились бы просто к метрам.

Упрощаем:

Теперь, запишем левую часть уравнения в более подходящей форме:

Ну и теперь нам нужно просто сопоставить степени в левой и правой части уравнения, получив следующую систему:

0 = β – α

1 = 3 α + 2 β + γ

0 = –2α -β – γ

Первое уравнение говорит нам, что α = β, зная это , получаем:

1 = 3 α + 2 β + γ → 1 = 5 α + γ

0 = –2α -β – γ → 3 α = – γ

Следовательно, имеем α = 1/2 , β = 1/2, γ = – 3/2

Подставив значения степеней в формулу, мы обнаружим, что мы получили то же самое уравнение, что и раньше:

Планк не остановился на этом. Мы так же можем посчитать, а сколько массы нужно упаковать в этот объём, чтобы получить чёрную дыру. Нам всего только надо преобразовать полученное уравнение:

Эта величина получила название «Планковская масса».

Есть так же «Планковское время» – строго говоря, время, за которое свет проходит расстояние равное «Планковской длине» (5,3 * 10⁻⁴⁴ с), но у этой величины есть и другое значение. Помимо того, что это – кратчайший интервал времени, который в принципе имеет физический смысл, это так же и кратчайший интервал, дальше которого мы никогда не сможем проникнуть в исследовании условий большого взрыва. Период с момента возникновения нашей Вселенной до 5,3 * 10⁻⁴⁴ с так и называется – Планковская эпоха.

Концепция самого времени теряет физический смысл на интервалах, меньше планковского времени!

Очень часто можно слышать вопрос «А что было до Большого взрыва?». Правда в том, что время не существовало как концепция на протяжении всей Планковской эпохи, как и не существовало никаких «до» (см. пост Правды и кривды теории Большого взрыва.).

Теперь, уткнувшись в столь фундаментальный барьер, мы можем только гадать, является ли пространство-время непрерывным на любом интервале, мы лишь не можем ничего измерить на расстояниях, меньших Планковских, либо пространство-время дискретно, имеет «воксели» – мельчайшие кирпичики, и тогда самым наглядным аналогом подобной реальности станет популярная игра Minecraft, а пространства-времени в меньшем масштабе попросту не существует.