Вопросы бесконечности всегда вызывают живой интерес у аудитории. Сегодня я хочу рассказать Вам об удивительном, но простом геометрическом построении, известном еще в древней Греции, которое больше, чем через тысячу лет, стало предтечей исторического открытия Георга Кантора. Поехали!

Итак, еще древнегреческим геометрам было известно следующее занимательное построение:

Поясню: берем два отрезка AB и СD, через их концы проводим две прямые и отмечаем точку их пересечения E. Теперь мы можем провести целое семейство прямых из этой точки, которые пересекают два исходных отрезка в точках 1-3 (1'-3'). Древние греки сделали такой вывод: каждой точке отрезка AB сопоставляется точка отрезка CD.

Уже позднее, с развитием теории множеств, скажут, что древние греки построили биекцию (взаимно-однозначное соответствие) двух отрезков, что позволяет говорить об их равномощности. Иначе говоря, бесконечное количество точек в одном отрезке равно количеству точек в другом отрезке, несмотря на их разные геометрические размеры.

Великий Георг Кантор пошел дальше. Он доказал пародоксальное, казалось бы, утверждение: "в отрезке столько же точек, как и в квадрате". Вот как он это сделал:

Кантор взял произвольную точку квадрата с координатами

(0,x1x2x3x4....; 0,y1y2y3y4.....),

где под x и y понимаются цифры десятичной записи числа и сопоставил их точке отрезка с координатой

(0,x1y1x2y2x3y3x4y4...),

получившейся перемежением соответствующих цифр. Таким образом, Кантор установил биекцию между точками квадрата и отрезком. Более того, построив на таком квадрате куб, он показал равномощность куба и отрезка, затем обобщив всё на кубы высших измерений. Оказывается, какой размерности фигуру Вы бы не представили, точек в ней будет столько же, сколько в обычном отрезке!

Такому количеству точек Кантор приписал кардинальное число - Алеф-1, ставшее наименьшим несчетным бесконечным кардиналом.

Про бесконечные кардиналы, ординалы, множества и прочую ересь на максимально простом языке читайте в телеграмм-канале Математика не для всех.