И правда, это сочетание включает на первый взгляд три совершенно разных элемента: народный, демократический и республика. Только вот элементы эти означают почти одно и то же.

Народ. Это слово хорошо известно в славянских языках. От праславянского слова *narodъ происходят украинское на́рід, народ, белорусское народ, болгарское народ, македонское на́род, сербское на́род, хорватское narod, словенское narod, словацкое národ, чешское národ, польское naród. Очевидна связь этого слова с *rodъ "род"; ср. латышское rads "родственник; сородич".

Демократия. Со школы нам внушают, что это политический режим, который придумали древние греки (точнее - афиняне). Да, Греция - родина многих вещей и явлений. Греция - это также родина многих слов, которыми мы сегодня пользуемся как своими. Демократия - это слово, которое через европейские языки и латынь пришло из древнегреческого δημοκρατία, где первая часть δῆμος означает "страна; народ", а вторая часть κράτος - "сила, могущество; власть". Всё вместе - "народовластие". Считается, что слово δῆμος восходит к праиндоевропейскому корню *deh₂- "делить; разделять"; семантически обосновывается тем, что "страна" - это отдельная от всех остальных стран часть земли, очерченная определёнными границами.

Республика. И снова история, пятый класс. На этот раз древние римляне, изгнавшие своих царей, изобрели новую форму правления, которая учитывала бы интересы народа. Хотя мы-то знаем, что прежде всего блюлись интересы патрициев. А впрочем, далеко ли мы ушли... Латинское rēspūblica, которое известно многим языкам, раскладывается на rēs "вещь; дело" и pūblica, от pūblicus "народный"; родственно populus "народ", иногда сравнивают с plēbs "народ; плебс".

Итак, народно-демократическая республика, если рассматривать это сочетание с точки зрения внутренней формы, - это "народно-народовластное дело народное". Теперь живите с этим.