Лига Механических Головоломок

Чтобы перекрасить две противоположные грани уникуба в жёлтый, делим его по жёлтому срезу, и переставляем два кирпича 3×3×1 и 3×1×2 местами. Проводим то же действие по осям Y и Z, и получаем жёлтый куб.

3. Этот способ масштабируется на любое n, так что ответ на третий вопрос тоже утвердительный.

2. n³ кубиков будут иметь 6n³ граней, построенный из них куб n×n×n — 6n². Нет «лишних» граней, каждая будет задействована в какой-то раскраске — потому все внутренние грани будут постороннего цвета. Соответственно, каждый кубик будет иметь не более трёх граней одного цвета.

В частном случае 3×3×3 будем обозначать как «312» кубик с тремя красными гранями, одной жёлтой и двумя синими. В красном кубе центральным будет кубик 033, в жёлтом — 303, в синем — 330. Таких кубиков по одной штуке. Подумаем, как можно красить угловые, рёберные и граневые кубики красного куба.

Центральный:

033 — 1 шт.

Угловые:

303 — 1 шт.

330 — 1 шт.

321 — x шт.

312 — y шт.

Граневые:

123 — z шт.

132 — t шт.

Рёберные:

213 — u шт.

231 — v шт.

222 — w шт.

Подбив баланс (угловых кубиков восемь, рёберных двенадцать, граневых шесть), получаем систему уравнений.

2 + x + y = 8  (8 красных угловых)

2 + t + v = 8  (8 жёлтых угловых)

2 + z + u = 8  (8 синих угловых)

z + t = 6  (6 красных граневых)

y + u = 6  (6 жёлтых граневых)

x + v = 6  (6 синих граневых)

u + v + w = 12  (6 красных рёберных)

Жёлтые и синие рёберные считать бессмысленно: и без того понятно, что переменная x свободная и варьируется от 0 до 6, u = t = x, y = z = v = 6−x, w=6.

Всё, семь способов? Нет: оказывается, кубик 222 хиральный (то есть невозможно совместить поворотом со своим зеркальным отражением).

Их шесть штук, и среди них может быть от 0 до 6 «левых», остальные правые. Семь вариантов. Думаю, не нужно показывать, что у остальных кубиков, у которых хотя бы три грани одного цвета, хиральности нет.

Итого 7·7 = 49 способов.

Заключение

Слово «хиральный» происходит от греческого «хейр» — «рука». Хиральность близка к понятию «асимметричный относительно плоскости», но существует сложная молекула, которая асимметрична, но не хиральна. Её модель можно сделать из проволоки.

Асимметрия нашего мира обнаруживается уже во взаимодействии элементарных частиц. Отсюда растут ноги у правила левой руки и правила буравчика.

Молекулы сложных соединений бывают хиральные. Даже сахар относится к таковым. При этом биологические системы любят (производят, усваивают и т.д.) одну сторону и не любят другую. Например, сахар бывает только «правый», а ибупрофен действует только «левый». При этом многие из асимметричных молекул поворачивают плоскость поляризации света, тем сильнее, чем их больше в растворе — на этом основан несложный способ определения концентрации сахара.

Ножницы делают под правую руку, и если их возьмёт левша (ну или неполный левша, как я), лезвие будет закрывать линию реза. Можно также говорить про левый и правый винт, левый и правый руль автомобиля.

В спорте — бейсбольные стадионы ориентируют по сторонам света так, чтобы солнце не мешало праворуким отбивающим. Боксёров-левшей в высших лигах много, около 25% — из-за более симметричного развития (часто левшей частично переучивают работать правой рукой) и неудобства для правшей. Наиболее известная из фигуристов-левшей — Каролина Костнер.

В компьютерной графике для простоты любят отзеркаливать спрайты, но это иногда приводит к казусу. В какой руке бедуин держит саблю?

В биологических системах хиральность может встречаться в интересном виде. «Левые» и «правые» наземные улитки не спариваются друг с другом, при этом поедающие улиток змеи приспособились именно к правым — потому «белая ворона» левая, хоть и реже правой, чувствует себя неплохо. Бивень кита нарвала (видоизменённый левый зуб) закручен левым винтом. Иногда бывает, что два зуба прорастают в бивни, и оба закручиваются влево.

1. Есть 27 кубиков. Попробуйте выкрасить их грани в три цвета, чтобы из кубиков можно было собрать полностью красный, полностью жёлтый и полностью синий куб 3×3×3. Есть очень красивый способ это сделать.

2. Такая раскраска не единственна. Какие есть способы варьировать её? Сколько существует раскрасок?

3. Можно ли раскрасить 1 млн кубиков в 100 цветов так, чтобы из них можно было собрать куб 100×100×100 любого цвета?

Задача всё-таки довольно известная, кто-то, как я, видел и уникуб живьём, потому «Моё» не пишу.