У меня тоже был похожий случай. При переезде в новый дом, через некоторое время обнаружилась такая же проблема. Унитаз засорялся. Пару раз помогал трос, но возиться с ним, а потом всё отмывать быстро надоело. Тем более трос не свой, а "даденый". Думал, как же можно дунуть в унитаз, чтоб всё быстро проскочило. Усложняло задачу то, что разводка канализации в ванной одна, и от всех приборов идет в одну трубу. То есть толка дуть не будет. Из раковины или ванной обратно дунет. Вот тогда и пришла мысль, что дуть нужно с другой стороны, и в себя. Ну а дальше как то само придумалось. Не можешь создать избыточное давление, создай разрежение. Приблудой по типу шприца, как кто то советовал в коментариях автору поста, но с обратной тягой. Только если совать её с другой стороны, то есть опасность создать гейзер с полезными грязевыми ваннами. Пришлось шприц модернезировать. Взял кусок металлопластиковой трубы,  её конец сунул в два пакета (для прочности), примотал скотчем, и получился такой вялый поршень.