Пандемия, самоизоляция и теория игр⁠⁠

Почему люди нарушают самоизоляцию? Постараемся ответить на этот вопрос при помощи теории игр

Эпидемия COVID-19 шагает по миру. Нам приходится привыкать носить маски, тщательно мыть руки и проводить больше времени дома. Во многих странах был введён режим карантина и самоизоляции. Но будут ли люди осознанно сидеть дома во имя блага общества? Постараемся ответить на этот вопрос с помощью теории игр

Индекс самоизоляции в Москве

На момент написания этого поста пандемия длится уже больше двух месяцев. С момента обнаружения вируса прошло почти пол года. От эпидемии умерли сотни тысяч людей, страдает экономика всего мира. И это ещё не конец: не все страны преодолели плато заболеваемости, а учёные опасаются второй волны

SARS-CoV-2 – коронавирус-виновник такой ситуации – способен существовать всего около недели на металле и пластике, и ещё меньше на других поверхностях. Летучие мыши, и панголины, которые являются возможным источником вируса также не бегают по городам, заражая людей. Всё это время вирус распространяется от человека к человеку

Задумайтесь, как это странно. Вирус может быть обнаружен в дыхательных путях пациента в среднем около 2 недель после появления первых симптомов (в фекалиях – дольше). Было бы достаточно всем посидеть дома около месяца и не есть фекалии соблюдать правила гигиены для того, чтобы остановить распространение инфекции. Это бы спасло тысячи жизней и в конце концов пошло бы на пользу экономике. Почему же этого не произошло? Мир страдает от пандемии уже не первый месяц и с нетерпением ждёт появления вакцины

Выпадение всего одного звена в этой цепочке может спасти сотни людей. Оставайтесь дома: это спасает жизни

Если вы читаете этот пост не из будущего, то вам достаточно выглянуть в окно, чтобы дать ответ на этот вопрос. Во многих городах режим не является слишком строгим и люди могут свободно выходить на улицу. Ответственность за самоизоляцию лежит на плечах каждого. И каждый волен выбирать, выходить ему на улицу или оставаться дома

Поведение людей в таких ситуациях хорошо описывает теория игр. Давайте сделаем краткое отступление от эпидемиологии и поговорим о математике

Дилемма заключённого

Представьте 2 преступников, которые попались полиции. Каждый из них ограбил аптеку в надежде запастись медицинскими масками. Это уже не первое такое проишествие, но другие не были раскрыты. Полиция бросает преступников в разные камеры и допрашивает в надежде пролить свет и на прошлые ограбления

В наше время и балаклавы не нужны

Каждому из заключённых ставятся следующие условия. Он может засвидетельствовать, что второй грабитель совершил предыдущие преступления. Если второй грабитель при этом промолчит, то свидетеля отпустят, а на его коллегу повесят все прошлые ограбления и дадут срок 20 лет. Медицинские маски – это сейчас не шутки, знаете ли. Если и второй грабитель пожалуется на первого, то оба получат срок 5 лет. Если же оба промолчат, то им предстоит самоизолироваться в камере весь следующий год

Самый маленький суммарный срок, 2 года, получается, если оба грабителя промолчат. Это самое рациональное решение, если воспринимать преступников как единое целое, пусть и маленькое, общество. Однако они сами вряд ли думают о себе, как об обществе. Каждый из них заинтересован в том, чтобы лично его срок был как можно меньше. Тогда молчать будет нерационально, ведь оппонент также заинтересован в сокращении своего срока и охотно пожалуется, сократив его до нуля

Получается, что каждый из преступников не может дать своему оппоненту преимущество. Тогда действием с максимальной личной пользой будет сдать второго грабителя. Так поведут себя оба заключённых и в итоге оба сядут на 5 лет! При рациональных действиях, но ради личных мотивов, каждый заключённый проведёт на 4 года больше в тюрьме, чем мог бы при сотрудничестве. Зато оба не будут ходить по улице во время пандемии

Теория игр рассматривает такие и другие не менее интересные ситуации. Игрой в рамках этой теории называется конфликтная ситуация со следующими условиями:

1. Участвует некоторое конечное или бесконечное число игроков

2. Заранее заданы правила игры – способ выбора стратегии игроком

3. Определены количественные величины выигрышей и проигрышей участников игры

Дилемма заключённого соответствует этим правилам – в ней участвует 2 игрока, каждый имеет 2 возможных «хода» и стремится минимизировать свой срок, а этот срок определён при любых действиях игроков

Но как у любой другой области математики, прелесть теории игр в том, что она может описывать любые ситуации, модель которых вписывается в эти правила. С помощью этой теории можно объяснять экономические процессы, эволюцию, распространение религий. Игроками могут выступать предприятия, государства, отдельные люди или даже природные стихии

Как игру можно представить и соблюдение режима самоизоляции. Игроками здесь выступают жители города. Каждый день они «делают ход» – выбирают выйти сегодня погулять или остаться дома

Давайте построим простую модель, чтобы количественно определить возможный выигрыш. Зададим каждому человеку «настроение», выражаемое целым числом. Настроение будет повышаться на единицу, когда человек выходит погулять и понижаться на единицу, если он останется дома. Для простоты модели мы исключим из неё интровертов-домоседов. Если человеку приятнее сидеть дома, это прекрасно, но в рамках этой игры он нас не интересует

Теперь нужно определить правила, по которым каждый житель будет выбирать свой ход. В городе распространяется эпидемия и гуляя, игрок рискует заболеть. Пусть вероятность заболевания при выходе на улицу будет равна проценту заболевших от населения города. Например, если в городе 10% заражённых, то гуляя, человек имеет 10% вероятность заболевания. В таком случае его настроение опустится до нуля

Пусть игрок выходит на улицу, если математическое ожидание его настроения в этом случае будет больше его текущего настроения. То есть:

вероятность незаражения * (настроение + 1) > настроение

Простыми выкладками можно показать, что человек будет выходить на улицу, если его настроение выше, чем отношение количества здоровых людей к количеству больных людей в городе

Из этого следует что:

• При нулевом настроении, человек в любом случае пойдёт на улицу. Дома сидеть ему уже невмоготу

• При долгом сидении дома у человека накапливается усталость и ему всё больше хочется прогуляться. Рано или поздно может наступить момент, когда несмотря на количество заболевших в городе, человек выходит из дома, подвергая себя опасности и ещё больше ухудшая эпидемиологическую обстановку

Модель описана, давайте же посмотрим, как она себя ведёт. Для этого я написал небольшую программу. Кроме описанных выше правил я также добавил вероятность выздоровления для больных людей, равную 1/14 (в среднем за 2 недели человек выздоравливает). Такие люди становятся резистентными и более не распространяют инфекцию. В первый день болеет только один человек. Настроение у населения в начале распределено равномерно – от 1 до 15

Запустив модель 1000 раз для города с населением 1000 человек я получил такую картину:

По горизонтальной оси здесь отложены дни. Цветами показано среднее за 1000 запусков модели количество больных (красный), здоровых (синий) и резистентных (зелёный) людей. Чёрная линия отражает количество людей, вышедших на улицу в этот день. Белая линия – это среднее настроение всего населения, её ось можно увидеть справа

В самом начале болеет очень мало человек, поэтому большая часть людей выходит на улицу и среднее настроение населения повышается. Но очень скоро инфекция начинает стремительно распространяться и для многих людей порог риска оказывается выше их настроения. Они запасаются гречкой и туалетной бумагой и запираются дома (резкое падение чёрной линии). Это немного снижает скорость роста заболеваемости

Но настроение людей в такой ситуации становится всё хуже. Накапливается усталость и хочется выйти из дома. В какой-то момент настроение человека становится настолько низким, что его не пугает даже высокий процент заболеваемости. Люди снова начинают выходить на улицу, причём всё больше. На графике виден этот парадоксальный момент – заболеваемость приближается к пику, но люди гуляют всё больше и больше, ещё сильнее распространяя инфекцию!

Рано или поздно болеть или распространять инфекцию уже почти некому и она сходит на нет. Но на пике заболеваемость здесь достигла 40% населения города. Кстати, заметим, что «Резистентные» люди в этой модели почти не отличаются от погибших от заболевания: и те, и другие не распространяют болезнь. Поэтому можно воспринимать часть резистентных как погибших, а не как вылечившихся, хотя тогда они, конечно, не должны поднимать среднее настроение

Давайте теперь представим другой город, в котором после достижения порога в 1% заболеваемости был объявлен строгий карантин и всё население было обязано сидеть дома до тех пор, пока все заболевшие не вылечатся

Несмотря на то, что даже 1% – это колоссальное число для реальных городов, увеличим его до 10%, чтобы было проще смотреть на график

В обоих случаях порог достигается довольно быстро и население вынуждено сидеть дома. Это ведёт к драматическому падению настроения. Обратите внимание на правую ось – среднее настроение населения ушло в минус. Каждый конкретный человек чувствует себя значительно хуже, чем в первой ситуации (конечно, он остаётся здоровым, но мы не вписывали в модель тяжесть заболевания). Зато количество заболевших не преодолевает заданный порог. А после снятия карантина вновь можно свободно гулять и восстанавливать экономику. Общество в целом от этого выигрывает

С другой стороны, у этого есть ещё один интересный эффект. Количество переболевших людей невелико, а значит коллективный иммунитет у населения не формируется. И после снятия карантина первый же заражённый приезжий заставит картину повториться

Может быть именно поэтому в городах не вводится слишком строгий режим. Даже в модели с порогом в 1%, средняя длительность карантина составила 44 дня. За этот же период большая часть населения в модели без карантина приобрела резистентность. Поэтому суть самоизоляции не в том, чтобы остановить эпидемию, а в том, чтобы замедлить её распространение так, чтобы система здравоохранения справилась с поступающими больными. Это часто называют «сглаживанием кривой»

Оранжевая линия на гифке обозначает количество людей, которых способны обслужить больницы

Сделаем вывод. С точки зрения теории игр, человек будет нарушать режим самоизоляции пока его личный выигрыш от этого перевешивает возможные неудобства. К неудобствам относятся риск заболеть, штрафы, необходимость носить маски и так далее. Это именно тот рычаг, на который может воздействовать администрация страны/региона/города. Ведь большинство людей всё же думают о своём личном комфорте, а не о благополучии общества в целом. Даже если действия ради своих интересов приводят к худшей ситуации для общества и в конечном итоге для самого человека

Мне хотелось бы призвать вас быть ответственнее. Каждая мера безопасности, предпринятая вами, каждый день, проведённый дома, делает ваш город немного безопаснее. В конце концов, это хорошо и для вас

И напоследок: модели в посте не призваны точно отражать реальное положение дел, они несут скорее иллюстративный характер. Например, в них не учтён инкубационный период, хотя было бы интересно оценить его влияние. Также вероятность подхватить инфекцию зависит не только от доли заболевших в городе, но и от количества людей, которых человек встретит, гуляя. Но я стремился сократить количество параметров, чтобы передать лишь основную мысль. Почти не имеет смысла смотреть на абсолютные значения заболеваемости/длительности инфекции в этих моделях, но имеет смысл сравнивать ситуацию с карантином и ситуацию без карантина

Как говорил британский статистик Джордж Бокс:

Все модели неверны, но некоторые из них полезны

Спасибо за чтение, я буду рад вопросам (касательно математики, но не политики) и здравой критике. Оставайтесь дома! А если вам интересны мои посты, можете заглянуть в мою группу ВК и телеграм