Ответ на пост «Почему на ноль делить нельзя»⁠⁠

бесконечно малой и бесконечно большой величины.

Это уже другой вопрос.
С этим замечанием я согласен, что моё обозначение ∞ - слишком общее и никак не отличается от lim или ещё чего.

Но тут как-бы надо объяснить по-взрослому: что такое вычисление (alpha- / beta- reduction без потери информации).
И почему для x/0 - не получится "без потери".

Но это 5-класснику уже не объяснить.

> Без слова "поле" непонятно, что такое деление, что такое ноль, какое утверждение рассматриваем и какие аксиомы можем использовать.

Ну т.е. это просто оборот для понимания между собой, а не предлагается объяснять так кому-то что-то на пальцах начиная с "возьмём алгебраическую структуру с 8 аксиомами" (так-то в школе / на пальцах через аксиоматику Пеано, ну чуть менее строго в некоторых местах доказывается, постепенно расширяя мн-ва).

Тема, наверное, себя исчерпала. Спасибо за ответы.

да пожалуй вы правы.
попробую ещё подумать.
Думал из контекста понялно, что было желание "на пальцах" показать что такой фокус (как проделывают с мн-ми N -> Z -> Q ) не пройдёт и "новые числа" окажутся "плохими" в смысле сохранения свойств чисел.

Но видимо на пальцах не получается. Всё равно в нейтральный элемент упираемся.

Вообще есть разные подходы.
Ну например в случае разрыва первого рода функции - довосстановить её по равным левому и правому пределам.

Но общее правило - нет.
Надо разобраться что влечёт за собой 6/0. И если надо - исключить из области определения ненужные точки.

Ну например у вас есть уравнение:

(1) (x + 3) * (x*x + 5*x + 6) / (x + 3) = 0;
(2) x*x + 5*x + 6 = 0, x != -3;
(3) (x + 2)*(x + 3) = 0, x != -3;
(4) (x = -2, x = -3) и при этом (x != -3).

Ответ: x = -2.

Более подробно - посмотрите решение задачи с параметрами на ЕГЭ.

У... кажется вы вообще ничего не понимаете в том, о чём пишите.
Нет доказательство не верно.

Соответственно отсутствие единственного обратного элемента это условие не возможности деления на 0. Бесконечность не нужна.

Переводя на язык формул, вы хотите сказать это: (A => G) => (!(B => G))

Предлагаю вам доказать это в общем случае (спойлер - в общем случае это неверно).
=====================================

Ну и по-мелочи:

> Докажем для R
> А вот рассмотрим поле вычетов

Даже если бы ваше доказательство было верным - что бы оно означало?
Если объект исследования другой?

Соответственно отсутствие единственного обратного элемента это условие не возможности деления на 0.

Это вообще что значит? Условия бывают "необходимыми" или "достаточными". Уточните.

F[5] = {0,1,2,3,4,5}

{0, 1, 2, 3, 4, 5} - это F_6 и этого поля всё-таки вообще не существует (до обозначений не придираюсь)
==================================================

Вот тут ещё ошибка

"На столе лежат 5 яблок, вы за раз можете забрать 0. Сколько вам потребуется подходов?"

Слушайте ну вы же не компилятор ЯП - чтобы не понимать что здесь написано ;)

это просто вопрос соглашений.

Есть множество N (без 0) - удобно в теории чисел
Есть множество N0(c 0) - удобно в теории множеств

Ну смотрите:

a = lim (x -> 0): 1/x = ∞
b = lim(x -> 0): 1/(x*x) = ∞.
Вопрос - чему равно a / b?

Если совсем грубо - чтобы обратить деление на 0 - вам нужна информация что делили.

А когда вы записали просто ∞ (а не 6 / 0) - вы информацию о числе "6" потеряли.

Но если вы начали писать "6 / 0" - то вам эту ебалу придётся таскать за собой везде во всех формулах. И они станут ппц громоздкими. Это "нестандартный анализ" называеся.

нет

Смысл как раз в том, что вводится 2 новых числа (условно: бесконечность и неопределенность), обладающих всеми свойствами чисел, т.е. их можно использовать наравне с другими числами в арифметических операциях.

Нет (что именно нет - выделено).

Ни бесконечность ни жёпа не обладают свойствами чисел.

Вообще почти никакими свойствами. Начиная, с самых базовых:

- pred(Inf) = Inf = succ(Inf).

- не являются обратными по сложению

- не являются обратными по умножению

- не обладают дистрибутивностью...

Вообще почти никакими свойствами естественными для чисел и нужными математикам не обладают.

В колесе нельзя написать:

x - x = 0.

Т.к. если х - Inf или NaN, то это не верно.

Вот поэтому оно это нафиг никому и не надо.

Вы вообще понимаете что значит "разделить на 0" - объясните пожалуйста своими словами, хоть коряво хоть как.
Хочу убедиться, что я не с википедистом-цитатником общаюсь, а с человеком разумным.

> Проективную сферу сделать недостаточно.
Достаточно.

> Кроме бесконечности нужно ещё одно спец число - неопределенность.
Сразу две ошибки:
1. жёпа - не число (в том смысле, что не обладает свойствами чисел).
2. Нет не нужно. Можно добавить, если хочется, но не обязательно.

> "Нафига нужна" - только ради науки и ради искусства.
Ну вот в математике есть комплексные числа - охренительно, фундаментально, полезная штука, а есть кватернионы - которые нафиг не нужны (проще сразу 2х2 матрицы брать и не мучаться лишними названиями).

Вот системы с попыткой делить на 0 - они как кватернионы, пользы от них - кто-то когда-то кандидатскую защитил.

Почему нельзя делить на 0 и получить число.

Делить на 0 можно, да, надо делать "колесо", про это есть статья на Хабре "Делить на ноль — это норма. Часть 1".

Кэп к чему вы это написали?

надо делать колесо

Нет не надо.
Можно колесо, можно проективную сферу, можно выделенное значение "жёпа" - которое получается при делении на 0.

Проблема в том, что все эти системы обладают недостатками. Настолько критичными, что их использование математически нафиг никому не нужно (инженеры IEEE 754 без всяких математиков написали).

В лучшем случае попав в "жёпу" - вы обратно в область чисел уже не вернётесь.
В худшем случае - из жёпы попасть в область чисел можно и у вас на уровне семантики вообще всё разваливается.
Нафига такая система вообще нужна?

Кажется что вы первые 90% говорите ровно то же, что и я - а последние 10% они же "вывод" у нас противоположные.

Я вот не понимаю зачем здесь поле и зачем здесь и сейчас кардинальность (ну понятно, что в проективной геометрии "-> /0" отображает все числа в Inf (а если хотеть различать "3" и "3 + 0/3" -  я не уверен, но кажется нестандартный анализ получается) - но это будет много позднее).

А без слов "поле", но с на пальцах введённой Inf(сначала как лексичпески введённая подстановка) - мне кажется, что объяснение становится доступнее для более раннего возраста.

К сожалению в комментах мы друг-дурга не поняли (в частности я вас не понял - потому, что вы писали другие вещи и очень сумбурно, и приводя не нужные, по-моему, абстракции из алгебры. Вот @astentx пришеднего за вами понял сразу).

Попробую ответить на написанное тут:

1. Ваше объяснение сводится к одной строчке:
неиньективная функция необратима. Функция "f = 0*" - неиньективна по определению => обратной для f не существует (ОДЗ будет "множество чисел") => операция x/0 не поределена.

2. То, что написано выше - довольно фундаментально. На мой вкус фундаментальнее чем необратимость умножения на 0 в группах.
Это можно объяснить в 10 физ-мат классе или в 8-9 классе на мат.кружке (в возрасте когда у детей появится абстрактное мышление). До того это объяснить не возможно. Дети в 5-7 классах такой уровень абстракции как  не разжёвывай не поймут.

3. Я попытался объяснить именно на пальцах. И действительно считаю, что моё объяснение, для условного 5-классника лучше. И "обчень обчень большое число", (которео просто в качетве лексической подстановки)  обозначим за Inf - в этом объяснении на пальцах реально помогает.

======================================================

Малозначимые, но стоящие упоминания детали:

4. Я совершенно не понимаю зачем вы побежали за теорией групп.
Чем теория групп фундаментальнее, чем "неиньективная функция необратима". Может быть теория категорий тут более фундаментальна "для моно не существует обратной" - но на мой вкус это не "более фундаментально", а просто обобщение надо частым случаем Set.

Будущие учителки математики - самая тупая группа,  у которой я когда-либо вёл

Я ещё удивлялся когда это услышал

Да это математический прототип программистского IEEE 754.
Там Inf и Nan (бесконечность и "невычислимо" в середине колеса) - в итоге куча законов не работают.

Не совсем понял. Ваше объяснение

2. Давайте теперь сделаем ровно тот же фокус с делением на 0.
Пусть 1/0 = Inf (2/0 = 2*Inf; 0.5/0 = 0.5 Inf)
Выясняется, что облом. Такое число Inf - не является "полноправным" числом. Надо постоянно помнить где оно появляется и работать с ним особенным образом.

Проблема 1-5 класса математики в том, что им дают не "арифметику", а естествознание.

То есть они хотят усидеть на 2 стульях и дать:
- "основы математики" - где умножение коммутативно x*y = y*x
- "основы физики" - где есть размерность и 4[дерева] * 5[-] = 5[-]*4[дерева] = 20[деревьев]

В итоге они выбрали вариант плохой и там и там:
- Размерность явно не писать;
- Размерную величину всегда писать первой, безразмерную величину всегда писать второй - менять местами числа нельзя.

> я не знаю что такое колесо
Математический прототип IEEE 754
https://ru.wikipedia.org/wiki/Колесо_(алгебра)

> А зачем нам вообще определять эти операции?
1. У нас уже есть мн-во рациональных чисел Q. На них уже есть эти операции => в новой системе надо их тоже поддержать.
2. Хотят чтобы числа обладали разумной семантикой, т.е. Inf - действительно было "очень большое число".

Поэтому можно получить разные штуки - (добавляя варианты: {Inf}, {+Inf; -Inf; -0}, {+Inf, -Inf; NAN; -0}). Ну вот я с ходу придумал вариант: {+Inf; -Inf; Inf; +0; -0; NAN} - вроде должен работать.

Проблема в том, что "хорошо уже не будет" - всегда оказывается что-то плоховато.

так стоп "-" нет?
Всё-таки колесо (и IEEE 754) - это расширение R, где - есть.

ну и да 1/INF - 1/INF (а если хотите 1/INF + 1/(-INF)) - NAN по той же самой причине, что и INF - INF - мы хотим придать INF/-INF какую-то разумную семантику при вычислениях. Ну т.е. "вылезли в очень большие числа".

То есть утверждение в чем?

Кратчайшее объесниние(*) не-элементарно, а хочется элементарно:
*) Неинъективная ф-ия необратима, "f=0*" - неинъективена по определению => "f = 0*" - необратима => операции x/0 (Q*Q -> Q) не существует.

Но хочется легко и на пальцах показать, что попробуем расширить деление на 0 так же как мы до того "расширяли N, Z, Q", ну типа введём "бесконечность" - не прокатит.
Легко - это класса для 5го (примерно в 7-8-9 классе у детей резко начинает работать абстрактное мышление, а хочется раньше).


===========================================================

3. Ну и через обращение f = 0* // f(x) = 0*x
Это уже можно писать "почему на самом деле нельзя умножать на 0". Там дофига всего получается:
- отображение всей проективной окружности в \Inf - и кажется мы получаем вообще нестандартный анализ
- не просто некоммутативность умножения, а нередуцироемость o-малое членов
......

это не деление числе.
Это раскрытие неопределённости lim / lim

Ну ок понял.
Но тогда беседовать с копипастой с википедии - малополезно.

Во-первых вы гроизились объяснить на более глубоком уровне.

Во вторых вы понимаете разницу:
- 0 не обязан иметь обратного элемента
- 0 обязан не иметь обратного элемента?

я в курсе IEEE 754 (или колесо).

Проблема в том, что "b" должно быть NAN, а по-правилам бесконечность:
float a = 1/INF + (-1/INF);
float b = 1/a;

По-сути же "неопределённость" в бесконечности мы сводим к NAN.
А обратное для "0 с неизвестным знаком" - тоже должно быть NAN.

То есть (повторю ещё раз): боле-менее сделать можно, но хорошо уже никогда не будет хД

Скажем так "боле-менее" сделать можно.

Но хорошо не будет уже никогда. Например чему будет равно 0 + (-0) ?
float a = 1 / ((1 / Inf) + (1 / -Inf))

а у меня вопрос №0 - а вы понимаете что я хотел доказать (там к стати док-во поменялось), в контекстве чего и почему док-во именно такое?

> потому что невозможно единственным образом определить обратный элемент.
Это господь бог на скрижалях выбил что-ли? Почему невозможно-то и что будет если возьмём какой-то?

1. Доказательства для R вы не предоставили.
2. Ну и на минуточку "если у 0 будет делитель, то R - больше не будет группой" - не то, что хотелось бы иметь для объяснения на пальцах.

ПС

Мне наш диалог напоминает (у вас же cpp в профиле):
- Я: Вот эта штука (в упрощённом случае) реализуется под капотом через C и ffi.
- Вы: да не в PHP есть функция, вот так эта штука реализуется на самом деле.

Т.е. вы берёте какие-то абстрактные следствия и утверждаете что "это и есть `на самом деле`". Хотя "на самом деле" - это как доказать используя минимум лемм.

опять же - мы же как до этого расширяли N до Z, Q?

1. Выясняли, что множество не замкнуто по некоторой (N_0 по (-))
2. Говорили - давайте притворимся, что есть новое множество замкнутое по ней (Z по (-)).
3. Выясняли, что все "новые числа" (отрицательные и 0) - "хорошие числа"
- в смысле того, что мы доказали ассоциативность сложения для N и она сохранилась для Z

И это работает почти всегда, кроме деления на 0.
Делаем ровно тот же трюк. Получаем значёт \inf
Но на пункте (3) - выясняем что облом. Фокус не прошёл.

в поле F5 и других аналогичных это число может быть любым элементом поля, соответственно нет единственного обратного элемента.

> для бесконечных полей то же самое (вы же)

1. Я там изменил пост - действительно написал неправильно (исходил из неверного обоснования что все x\0 сойдутся в точную верхнюю грань - потом подумал и понял что не сойдутся).
Сейчас определил 1/0 = inf

2. Дописал ПС1 и ПС2.
Если вы способны мне объяснить что-то на фундаментальном уровне - добро пожаловать в комменты (но лучше начните с корня).

=============================================
По вашему комментарию:
1. "бесконечность" в математическом смысле определения не имеет.
Имеется боле-менее устоявлееся определение понетциальной бесконечности.
Про актуальную бесконечность - каждый определяет как хочет и исследует.

2.
> Это не помогает в понимании вообще, ибо создает еще вопросы типа - а что такое бесконечность, а можно ли на нее делить/умножать и тд и тп.
Так это отлично.
Разные подходы порождают "мат-анализ" "Колесо" или "исчисление бесконечных (вроде бы ординалов)".

Но в посте этого доказательства нет, или я невнимательно смотрю?

И?

Я понял где я не прав. Сейчас поправлю. Спасибо за разговор.

Нет

Почему "нет" - для меня загадка.

Я правильно понял, вы в своем доказательстве предположили (ввели), что результатом деления на ноль является что-то, что вы назвали бесконечностью,

Да

хотя могли назвать его хоть стол или стул,

Но в 2 действия доказывается, что этот "стол" больше (по модулю) любого числа из R, для x != 0.

1. Почему вы не правы "в принципе"
2. Почему вы не правы "в частностях"
3. Это ли вы хотите сказать (попытался изложить другими словами)?

===========================================

1. "В целом" - вы ставите телегу впереди лошади.
Теория групп - это 19 век. И довольно продвинутая математика. О том, что делить на 0 нельзя - люди на пальцах знали за пару веков до этого.
Более того:
1.1 я, как не профессионал, например не могу проверить корректность ваших изложений - только прикинуть (и то для ассоциативного случая) что боле-менее сходится (подозреваю, что вы тоже не правильно пишите - а примерно +/- километр как должно быть по логике).
1.2 Когда вы пишите доказательства (а тем более пишите почему "на самом деле") - боюсь вы сильно недооцениваете сложность и длину всех лемм, на которые вы опираетесь. ОЧЕНЬ СИЛЬНО недооцениваете.

2. > а это неверно так как операция деления на 0 не определена по другим причинам
Вы опять совершаете ту же ошибку:
A => !Div_0
B => !Div_0
Предположим оба доказательства верны. Вы называете одно "правильным" другое "неправильным". Ну да.

3. Правильно ли я понимаю что вы хотели сказать примерно следующее:

3.1 Я: предположим x\0 = ∞; доказываю, что ∞ - это не число

3.2 Вы: Не рассмотрен случай, когда 5\0 = ∞_5, а 6\0 = ∞_6.

3.3 Вы: А доказывается это по ассоциативности (*), обратному элементу 0 и транзитивности (=):
∞_5 * 0 * 5 = ∞_5 * 0 = ∞_1 * 0 = ∞_6 * 0 * 6

Что гораздо более мощная математика


Я правильно изложил что вы хотели написать?

Ок согласен.

"нестандартный анализ" - это же "предположим ординалы и им обратные существуют и будем обозначать их ...."?

При преподавании матана мне оба раза (в лицее, потом в вышке) - преподавали в таком порядке:
- последовательности + дифференциальное исчисление
- интегральное исчисление
- ряды.

Т.е. буквально сначала бесконечно малые, а уже потом просто малые ;)

отлично.
При этом вы эту неопределённость не можете раскрыть, если вы стёрли формулы для a и для b, и заменили их на символы.

То есть на некотором, более глубоком уровне чем 5 класс - невозможность делить на 0 - связана с тем, что мы можем стереть формулу "6/3" и записать 2, но не можем стереть формулу "0/3".

Мне кажется, что вы когда-то что-то знали, а сейчас вспоминаете зазубренные обрывки.

Есть доказательство про R.
Есть альтернативное доказательство про F_5.

1. И каким доказательство про F_5 отменяет доказательство про R?
2. Почему если есть два доказательсво - то одно из них обязательно не верно?  Доказательств теоремы пифагора любители уже больше 100 набрали. Все из них верные.

3. Более того. Обозначить x\0 = ∞;
Попытаемся что-нибудь сделать, чтобы логика сошлась, получим, что:
∞ - не группа // ага теория групп нафиг идёт
∞ <=> {+∞, -∞, ⊥} // {+Inf,  -Inf, Nan}

Ой кажется мы получили мат-прототип для IEEE 754.

Сначала было "неправлиьно", а теперь "излишне".
Но нет не излишне,   ∞ тут очень помогает.
========================================

Бесконечность тут не нужна вообще.

Пусть x !=0, пусть x/0 - число.
Тогда я могу доказать, что это число, по-модулю, больше любого элемента из N.

1. Очень естественно назвать такой объект ∞ (более того, называют: https://ru.wikipedia.org/wiki/Колесо_(алгебра) )
2. Это очень упростит объяснение "на пальцах".
3. Когда мы начнём работать с похожими объектами - в старших классах \ институте - мы всё равно будем называть их "бесконечностями" / "бесконечно большими" или как-то похоже.

"не определён однозначно" и "не является числом" - это просто два разных способа сказать об одном и том же:

let ∞ = let (x /= 0) in x / 0.

)))

лучше не писать, если сам не понимаешь ))

Если мы говорим про "числа с плавающей точкой" (т.е. не-целые поддерживаемые непосредствпенно процессором), то они отвечают IEEE 754, который реализует мат-структуру "колесо".
https://ru.wikipedia.org/wiki/Колесо_(алгебра)

вы правы но мне не нравится.

Для операции умножения и нуля просто построим функцию (*0)
Это функция не иньективна, по определению умножения и 0.

Для неё обратная функция не будет существовать (область значений функции многозначной функции - множество множеств чисел (а не множество чисел)).

Ну в общем это СИЛЬНО не на пальцах.

не совсем так.

Вот есть натуральные числа 1,2,3,4... - это "хорошие" числа
Есть целые числа 0, 1, -1, 2, -2, 3, -1... - это "хорошие" числа
Есть рациональные дроби - это тоже "хорошие" числа.

А если мы попытаемся тот же фокус провернуть и сказать - ну возьмём бесконечность, авось что получится - выясняется, что у нас ничего не получится.
Такой вот значёт INF - не будет "хорошим" числом. Т.е. не будет числом вообще.

Не додумывайте за меня то, что я не писал. А написал я вот что:
(1)Возьмём обозначение ∞.
(2*)Определим его как: ∞ <=> (x != 0): x / 0 = ∞
....

(3) Вывод: ∞ - не является числом.

Что вам тут не нравится?

*) (x != 0) я не писал, хотя надо было-бы. Но изложение для 5 класса.

Вы придумали что-то за меня, доказали, что это не верно.
Поздравляю вы правы. Только я тут не причём.

===============================================

Ваша ошибка в том, что вы путаете отсутствие однозначной определённости и бесконечность.

Ну вообще-то у "бесконечности" нет определения в "математике вообще".

А вы точно дальше 1й строчки читали? Прочитайте ещё раз.

В пункте (5) ровно это и показано. Только языком понятным 5-класснику, применяя доказательство от противного. Если ему в садике кто-то с дуру объяснил что при делении на 0 бесконечность получается.
Т.е. без слов "поле" и "обратный элемент".

ПС
К стати не все начинают с алгебры и полей - кто-то с аксиоматики Пеано и объяснения единственности результатов операций "+" и "*"