Ответ на пост «Физика уровня Пикабу»⁠⁠1

Проснувшись поутру, я наткнулся на вопрос, который не дал мне спокойно пить чай за завтраком. Процитируем его здесь, чтобы пустить мысль в полёт:

Итак, постановка задачи определяется ответами на выражения (1) и (2). И мы эти ответы таки знаем! В строгих научных терминах выражения формулируются следующим образом:

(1) Поток импульса в газ внутри колеса определяется вязкостью в газе;

(2) Воздух обладает массой, а следовательно, его движение инерционно.

То есть, в простых и ясных выражениях (1) и (2) уважаемый @Santus сообщил нам, что для решения задачи о вращении воздуха в колесе необходимо использовать уравнение Навье-Стокса. Вот оно, напишем его цветными карандашами:

Красным выделен градиент давления, он двигает воздух вместе с колесом вперёд, и мы его проигнорируем. Синее слагаемое вэ-градиент-вэ нам тоже не пригодится: оно равно нулю, если колесо плюс-минус круглое. Здесь мы, конечно, потеряем шанс рассчитать вот такое колесо:

Но, будем честны, с таким колесом надо задавать другие вопросы. Есть ещё последнее слагаемое, покрашенное зелёным. Оно описывает турбулентность и мы его пока заметём под коврик.

В итоге уравнение на скорость, с которой крутится воздух, оказывается довольно простым:

Во второй строчке мы решили, что колесо круглое, и его можно описывать в цилиндрических координатах. И вот, глядя на простой дифур в частных производных, можно уронить ностальгическую слезу по студенческим временам. Но мы пойдём дальше.

Для определённости будем считать, что мы разглядываем колесо автомобиля «Жигули» шестой модели 1978 года выпуска, жёлтого цвета, который за 20 секунд (водитель никуда не спешит!) разгоняется до 75 км/ч (куда нам торопиться, в кювет?)

За окном +20°, колёса накачаны до 1.8 избыточных атмосфер, плотность воздуха при этом \rho = 3.4 кг/м³, а вязкость \eta = 1.82×10^{-5} Па×с. Всё, осталось затолкать уравнение и две константы в написанную на коленке разностную схему. Из неё мы получаем очень красивый ответ:

...смысл которого в том, что мы наврали. По этому решению выходит, что воздух внутри колеса раскручивается несколько минут. Вот только число Рейнольдса к концу разгона жигулей зашкаливает за 400 тысяч, а значит, турбулентное слагаемое, заметённое под коврик, выглядит под ним примерно так:

Турбулентность приведёт к тому, что воздух раскрутится ещё быстрее. Не будем пытаться посчитать её аналитически, сразу нарисуем колесо в расчётном пакете, который умеет вычислять турбулентное течение газов:

И, при тех же условиях, воздух в колесе при разгоне крутится примерно на два-два с половиной метра в секунду медленнее, чем само колесо:

Вот, отставание лучше видно на картинке с угловой скоростью:

Тем самым, за время разгона Жигули проедут 208 метров, колесо сделает 115 оборотов, а воздух внутри него — около 65 оборотов.

А что, если колесо крутится, а воздух внутри него стоит? Раскрутится за несколько секунд, об этом на третьей гифке. Как будет вести себя в колёсах воздух под давлением 10 атмосфер или залитая вместо воздуха вода, автор не считал — здесь есть простор для дальнейших исследований.

Автор благодарит ОРВИ за любезно предоставленные время и упоротое состояние, использовавшиеся в данном расчёте.

Ps. В комментах к исходному посту упомянули один важный момент, который тут не учтён: деформацию колеса. Она будет насколько-то тормозить кручение воздуха в колесе, но расчёт того, насколько именно, будет ещё более упорот.