Ответ на пост «Доказательство 0.999 = 1»⁠⁠9

Зря кажется. Бесконечность - это очень сложный объект (или даже семейство разных объектов), которые обладают своими свойствами, которые для конечных объектов не работают. Но мы с детства привыкли к конечным объектам, и нам кажется, что все те же правила работают и в бесконечных случаях. Конечно, это не так.

С этим всем в конце 19 века столкнулся Кантор, когда разрабатывал теорию множеств. И тоже встретил волну непонимания. И далеко не сразу его теория стала общепринятой.

Как уже отметили ниже, 0.(3) = 1/3, и ни в каком случае не 0.4. Вы попытались обобщить метод, и стремление ваше похвально, но пока что не преуспели. Я верю, что взяв некоторое время на обдумывание, вы увидите изъян в своих рассуждениях.

Я рад, что исходное утверждение для вас столь очевидно, что вы не нуждаетесь в столь подробном объяснении. Если бы все читататеи на Пикабу были такими - этого поста бы не было.

Если вы о известном трюке, в котором 1+2+3+4...=-1/12, то мейнстримные доказательства так или иначе некорректны, поскольку основаны на суммировании расходящихся рядов. Вроде как есть серьезная интерпретация через дзета-функцию Римана, но изложить ее простыми словами пока что не представлется возможным. Может, немного позже.

Вы правы отчасти. На самом деле нет запрета на то, чтобы функция при стремлении к своему пределу в каких-то точках принимала собственно предельное значение. Более того, нет сомнения, что функция f(x)=1 имеет предел равный 1 во всех точках.

Бесконечно малая функция может не обращаться в ноль ни в какой своей точке - и тем не менее иметь предел ноль (в какой-то точке либо на бесконечности). Но предел - это число. В случае примера из поста - это единица.

P.S. в посте мы рассматриваем пределы последовательностей, это немного проще, чем пределы функций. Но большой разницы в данном случае нет.

Увы, 0.(3) это в точности 1/3. Но насчёт того, что периодическая запись десятичных дробей это такой костыль - скорее соглашусь. Даёшь обыкновенные дроби!

Ох, отлично же! Я позволю себе обобщить это.

Сколько раз от 1 не отнимай 0, она останется 1 (сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая, то есть в пределе - ноль).

Но отнимая [бесконечное число раз] от 1 01 мы все же получим 0 (а вот сумма бесконечного числа бесконечно малых величин есть неопределённость; там и ноль может быть, и конечное число, а может быть и бесконечность).

Ваше сообщение - отличный пример того, что с бесконечностью нельзя работать так же, как с конечными величинами, даже если кажется, что разница невелика. Если поспешить, можно совершить ошибку.

Простите, а что такое 0.(0)1? Не хотите ли вы сказать, что это предел последовательности 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 и т.д.? Ну так это к нулю стремится. Бесконечно малая, да ещё на бесконечность умноженная, как вы потом предлагаете - это неопределённость вообще, потому что неясно, что за бесконечность имеется в виду.

Какая сова, какой глобус, какая блоха? 0.(9) это число, данное число есть предел последовательности, он равен 1. К сожалению, математика немного сложнее, чем вы предполагаете. Мне жаль, что сейчас вам это доставляет дискомфорт. Я уверен, что обдумав этот вопрос достаточное количество времени, вам станут очевидны ваши нынешние неточности.

Позвольте, о какой физической величине речь? Я говорю лишь о том, что символами "0.(9)" обозначается число, и это число в точности единица. Вы можете поспорить и сказать, что символы "0.(9)" обозначают что-то другое, например, последовательность. Но тогда сама концепция равенства числа и последовательности вряд ли имеет место быть. Я не буду убеждать вас, что "0.(9)" это число, но если мы не договоримся здесь - дальнейшее обсуждение не имеет смысла.

Попробуем разобраться, в чем вы правы, а в чем нет.

Каждый элемент последовательности 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д., действительно, меньше единицы, и, действительно, чем дальше, тем ближе к единице.

Но 0.(9) это число, являющееся пределом последовательности. И как раз этот предел равен единице.

Как хорошо, что вы начеку. Но всё же рекомендую перечитать пост ещё раз, и, быть может, вы поймёте своё заблуждение.

Навскидку вот доказательство первого факта https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Ca...

По второму факту не могу быстро найти готовое доказательство. Идея такова: определение предела последовательности эквивалентно следующему утверждению: любая окрестность предела последовательности содержится все элементы этой последовательности, начиная с какого-то индекса. Удаление из последовательности любого конечного количества элементов создаёт новую последовательность, для которой это утверждение тоже справедливо. Более строго можно доказать с использованием эпсилон-нотации, но читаемость такого доказательства будет еще хуже.

Насколько я понимаю математику - да, математика оперирует бесконечностями. Есть неограниченно растущие функции и последовательности. Есть множества бесконечного размера. Есть бесконечно удаленные точки. Каждое из этих понятий имееь свое определение и с каждым из них можно работать.

Не понимаю, почему вы утверждаете, что бесконечность нельзя понять разумом. Можно ли понять разумом мнимую единицу? А неевклидову геометрию?

Понял, принял. Мне показалось, что выражения вида

0.(9)×10=9.(9)

и

9.(9)-0.(9)=9

требуют обоснования. В исходном посте они как будто использовались "по аналогии", мол, с обычными дробями так можно, значит, и тут можно. Я не стал задумываться о рядах и накатал вариант с последовательностями. Возможно, стоило не спешить и сделать этот пост получше.

Ну а насчёт меньшей формальности - разве где-то я оперирую недоказанными фактами? Я опускаю доказательства некоторых фактов - но любой из них я готов доказывать хоть сейчас. Правда, вникнуть в такое доказательство человеку без знаний основ анализа будет непросто, а у нас развлекательный ресурс, а не математический.

А вообще, спасибо вам большое! С вами приятно вести дискуссию.

А что такое бесконечность в бытовом понимании? Я когда-то для себя придумал такое понимание: бесконечность это так много, что лень считать. Ну и, пожалуй, для бытового понимания этого достаточно. Математическая бесконечность это не число - это "нечто", что в каком-то смысле больше любого числа. Но таких "нечто" много и разных. И ведут они себя существенно по-разному.

P.S. Людям знающим - не ловите меня на ТФКП, пожалуйста. Сразу скажу - поймаете. Не силен.

Не любое. Только 0.(9) и 1.(0).

Кажется, теперь я просто обязан запилить про это пост)

Есть сходство. Там тоже про пределы функций, а парадокс возникает из простого утверждения: "возрастающая функция может быть ограниченной". В исходном же тексте полагается, что это не так.

Кстати, хорошая идея для будущего поста, спасибо)

Укажете на ошибку в доказательстве?

Мне кажется, наши разночтения не так уж и велики. 1/3 не просто равно 0.(3), это две записи одного и того же объекта. 1/3 нельзя записать конечной десятичной дробью, приходится писать бесконечной периодической. Любая бесконечная периодическая дробь есть рациональное число и наоборот - а любая непериодическая бесконечная десятичная дробь есть число иррациональное и наоборот. Это можно строго доказать, хотя и, быть может, довольно громоздко.

Я где-то в соседней ветке упомянул, что мне тоже не понравилась "очевидность" выражений вида "0.(9)×10=9.(9)". Поэтому я привёл доказательство, которое на такие выражения не опирается вовсе.

Я надеюсь, что хотя бы один человек, прочитавший пост, вынес для себя что-то новое и полезное. Значит, уже не зря)

Этим не докажешь)))

Но перед взятием первого кредита я составлял разностные уравнения (чем-то на диффуры похоже), чтобы убедиться в том, что меня не обманывают. Или, хотя бы, что обманывают несильно)

Я специально оговорил, что во второй последовательности мы отбрасываем первую девятку. Но если угодно, можно этого и не делать. Тогда получим:

9 - 0.9 = 8.1

9.9 - 0.99 = 8.91

9.99 - 0.999 = 8.991 и т.д

Нетрудно убедиться, что эта последовательность тоже сходится к 9. Отбрасывание первой девятки лишь позволяет увидеть это нагляднее, поскольку не влияет на предел последовательности (2).

Там доказательств нет, к сожалению.

Чем же является подобная запись? Насколько мне известно, так записывают бесконечные периодические десятичные дроби. И каждая такая запись есть представление рационального числа. Так что это именно число.

Что же до корректности записи 0.(9)×10=9.(9), то автоматически она ни из чего не следует. Это нужно доказать. К счастью, это уже доказано.

Еще пару слов.

"в какой-то момент инервал становится настолько малым, что им можно принебречь". Эта фраза имеет право на существование, если ее цель - объяснить нестрого, "на пальцах", сложную концепцию, либо при проведении численных вычислений. В строгой теории этой фразе не место, и ее нестрогость не влечет к прорехе в теории.

"И если, по определению, числа являются равными когда между ними нельзя вставить никакое число, то у нас между 0.(9) и единицей, невозбранно, влезает О (точнее оно от туда и не вылезало)". Пожалуйста, строго определите, объекто какой природы является О. Это число? Это последовательность? Это объект, не являющийся числом, но сравнимый с числами? Вы пользуетесь этим понятием слишком вольно. Я не против его, но хочу определений. Можете не формулировать их сами - дайте ссылку на литературу.

"8/10^беск.=9/10^беск. тут одинаковые знаменатели. Сокращаем и... 8=9". Ворох неточностей и некорректностей. Что такое 10^беск? Что такое 1/10^беск? Почему на это можно сокращать? Я напомню, что 8*0=9*0, но 8 не равно 9. Но, конечно, в случае последовательностей 8/10^n -> 0, 9^10^n -> 0.

"4.(9)5". Это обозначение разве является общепринятым? Я могу увидеть в нем смысл, и даже вижу его. Это предел последовательности, и он равен 5. Вы возразите, что это сама последовательность, с пределом равным 5, но об этом я писал в другой ветке.

Резюме. Вашим рассуждениям не хватает строгости. Вы пользуетесь объектами, которые не определили. Вы делите на ноль. Проведите все рассуждения аккуратно - и вы либо упретесь в противоречие, либо построите свою систему мат анализа.

Пока жду "разрешённых операций", поупражняюсь.

1/1 = 1 = 0.9 + 0.1 = 0.99 + 0.01 = 0.999 + 0.001 = 0.9999 + 0.0001 = ...

Имеем две последовательности.

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 -> 0.(9), (см. пост);

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 -> 0, что не очень трудно выводится из определения понятия "предел" (пожалуйста, избавьте от необходимости применения эпсилон-нотации в комментариях).

Имеем:

1/1 = 1 = 0.9 + 0.1 = 0.99 + 0.01 = 0.999 + 0.001 = 0.9999 + 0.0001 = ... -> 0.(9) + 0 = 0.(9).

Подойдёт?)

Скажите, какими преобразованиями я могу пользоваться в "поиске дроби" и "обратном преобразовании"? Предельный переход и свойства последовательностей вас не впечатлили, и моего доказательства из поста вам недостаточно. Так чего же вы хотите?

0.(0)2 * 10 = 0.(0)2 = 0. Неожиданно?)))

Вы хотите 0.(0)1? Такое себе.

2×0,(0)1 = 0.(0)2 = 0

Надо думать, что вот так.

2×0.(1)=0.(2)=2/9

Слушайте, я прошу прощения за грубость, а чем вы читаете? Весь пост посвящён тому, что 0.(9) равно 1. И тут же я читаю: 0.(9) иррациональное, удачи доказать обратное. Так уже доказано. Более того, 0.(3) в точности равно 1/3. Пожалуйста, подумайте об этом. Бесконечная периодическая десятичная дробь - это одна из форм записи числа. Вот есть число "одна треть". Его можно записать так "1/3". Или так "2/6". Или так "0.(3)". Это число. Которое может быть суммой ряда, пределом последовательности или ещё чем-нибудь - но это число.

Я могу предположить, откуда ощущение. Когда мы смотрим на запись вида "0.(9)" мы сразу понимаем "так, это ноль целых с чем-то, короче, меньше единицы". Уложить эту мысль в голове вместе с мыслью "это в точности единица" довольно сложно. Наверное, так.

Мне бы очень хотелось, чтобы вы сначала определили, что такое 8.(9)1. Есть подозрение, что вы не понимаете, что написали, но просите квалифицированного ответа.

Фраза "их бесконечно, но на одну меньше" показывает, что вы работаете с бесконечностями по принципу конечных объектов. На самом деле, отбрасывание одного элемента оставляет последовательность столь же бесконечной, какой она и была раньше. Это звучит контринтуитивно, потому что в конечных случаях это не так. Но для бесконечных - в самый раз.

Зачем вы вводите новые сущности? Да, результат деления конечного значения на бесконечно малую есть бесконечно большая.

Но позвольте вернуть строгость в наши рассуждения. Бесконечно малая есть ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. Объекты вида 0.(9) и 0.(0)1 суть ЧИСЛА. Необычно записанные, но числа. Я дал слабину и зачем-то из области чисел ушёл. Так вот, с этой точки зрения 1 - 0.(0)1 = 1. Сколько раз ни вычитай. Даже бесконечное число раз. Ноль не получится. Никак. Так что вынужден указать вам на неточность в самом начале ваших рассуждений. Прошу прощения, что не сделал этого сразу.

Честно скажу - не готов утверждать, что есть определение бесконечной периодической десятичной дроби. Его можно ввести, как сумму ряда - но сумма ряда есть предел последовательности частичных сумм. Всё равно приходим к последовательностям и пределам.

Если бы все читатели Пикабу понимали, что такое числовой ряд, какие его свойства, как это связано с бесконечными периодическими десятичными дробями - то, конечно, мой пост был бы тривиален и не нужен. Но практика показывает, что уже на этапе пределов возникают трудности. Поэтому давайте не будем тащить сюда ряды - хотя, конечно, можем.

Мы переходим от последовательности к числу через предел, но делать это надо очень аккуратно. Тем не менее, ваше объяснение очень простое и, на мой взгляд, весьма понятное.

Прежде всего, спасибо, что не поленились и написали большой и по-своему аргументированный текст.

С вашего позволения, я перечислю ряд фактов, на которые я опираюсь. Если вы не согласны с каким-либо из них - дальнейшее не будет иметь смысла.

1. Существуют вещественные числа. Вещественные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (с ограничением деления на ноль), результат этих действий - число.

2. Существуют последовательности вещественных чисел (или просто последовательности). Последовательности можно почленно складывать, вычитать, умножать и делить (с ограничением деления на ноль), результат этих действий - последовательность.

3. К последовательности можно прибавить число, отнять число, умножить на число или разделить на число (с ограничением деления на ноль), результат этих действий - последовательность.

4. Некоторые последовательности сходятся, т.е. имеют предел. Пределом последовательности является число.

5. Последовательность не не сравнима с числом, записи "А=В" или "А≠В", где А - последовательность, а В - число, не имеет смысла, потому что это объекты разной природы.

Теперь рассмотрим ваш комментарий. Если я правильно понимаю его, вы предлагаете следующие обозначения и определения:

1. "0.(9)" есть обозначение последовательности 0.9, 0.99, 0.999, 0.999 и т.д., ее предел равен 1.

2. "О" есть обозначение бесконечно малой последовательности - такой, что ее предел равен 0.

3. Последовательность 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 и т.д. - бесконечно малая.

Если мое понимание ваших мыслей верно, то написанное вами выражение "1/1=.9+.1=.99+.01=...=0.(9)+О=1=1/1" некорректно с моей точки зрения, потому что вы чередуете числа и последовательности. До многоточия у вас числа, потом последовательность, а потом снова числа. Корректно было бы "0.(9) + О -> 1". Это мелочи, но ведь ровно такую же мелочь в моем комментарии вы назвали ошибкой.

Еще раз попробую изложить в сжатом виде свой исходный пост:

1. 0.(9) есть обозначение числа.

2. Это число является пределом последовательности 0.9, 0.99, 0.999, 0.999 и т.д., если он существует.

3. Предел существует и равен 1.

Как видите, наше коренное различие - в том, какой объект скрывается за обозначением "0.(9)". Я говорю - это число. Вы говорите - это последовательность.

Я утверждаю, что все обозначения должны быть понимаемы однозначно, и в математическом обществе есть консенсус о том, что означает то или иное обозначение. Если бы в мире было бы только два математика - мы с вами - то наше противоречие было бы бескомпромиссным. Однако, математиков в мире много, и я утверждаю, что мой вариант обозначения "0.(9) это число" является общепринятым. Я не буду это подверждать и не прошу вас это опровергнуть. Ваше обозначение может быть проще, логичнее, понятнее - но это не играет значения. Только общепринятость.

Я могу предложить вам принять мою точку зрения - или прекратить эту дискуссию, потому что в ней уже нет математики. Вы знаете, что такое последовательности и пределы, и, кажется, смотрите за рамки классического анализа. Я же остаюсь в его рамках.

В 1960-х годах американский математик Абрахам Робинсон предложил так называемый нестандартный анализ. В нём, кроме действительных чисел, рассматриваются бесконечно малые величины, которые «по модулю» меньше любого действительного числа и при этом не равны нулю. У новой числовой структуры есть не менее строгое математическое обоснование, чем у системы действительных чисел. В нестандартном анализе все теоремы классического матана выводятся на одном дыхании и выглядят гораздо изящнее, чем на языке XIX века. Возможно, вам будет это интересно.

На сим откланиваюсь.

Да вам особенно ни к чему. Вы свято уверены в своей правоте, которая основана не на фактах, а на святой уверенности в том, что иначе быть не может. Вы так и не потрудились дать определение, что такое 0.(0)1, а когда это определение дал я - стали требовать большего. Наконец, вы нашли то, что вам показалось противоречием, и теперь вы считаете себя победителем. Мне жаль вас. Прощайте.

Ну, нам формулировали эту аксиому так: для двух любых множеств, таких что каждый элемент второго множества не меньше каждого элемента первого множества, существует число, такое что оно не меньше любого элемента первого множества и не больше любого элемента второго множества. (Как же трудно это словами писать))))

Но интересно, можно ли ввести строгое определение вещественных через фундаментальные последовательности над рациональными. Я такого не пробовал.

Кажется, нам их определяли через аксиому Архимеда, но можно и через фундаментальные. Которые в классическом анализе сходятся, так ведь? А вообще в голове всплывает функциональный анализ и банаховы пространства...

Сложно. Тут либо давать базу на языке эпсилон-дельта (и писать нечитабельный пост), либо вот так, почти на пальцах, но с разъяснениями в комментах)))