Ответ на пост «Доказательство 0.999 = 1»⁠⁠9

Еще пару слов.

"в какой-то момент инервал становится настолько малым, что им можно принебречь". Эта фраза имеет право на существование, если ее цель - объяснить нестрого, "на пальцах", сложную концепцию, либо при проведении численных вычислений. В строгой теории этой фразе не место, и ее нестрогость не влечет к прорехе в теории.

"И если, по определению, числа являются равными когда между ними нельзя вставить никакое число, то у нас между 0.(9) и единицей, невозбранно, влезает О (точнее оно от туда и не вылезало)". Пожалуйста, строго определите, объекто какой природы является О. Это число? Это последовательность? Это объект, не являющийся числом, но сравнимый с числами? Вы пользуетесь этим понятием слишком вольно. Я не против его, но хочу определений. Можете не формулировать их сами - дайте ссылку на литературу.

"8/10^беск.=9/10^беск. тут одинаковые знаменатели. Сокращаем и... 8=9". Ворох неточностей и некорректностей. Что такое 10^беск? Что такое 1/10^беск? Почему на это можно сокращать? Я напомню, что 8*0=9*0, но 8 не равно 9. Но, конечно, в случае последовательностей 8/10^n -> 0, 9^10^n -> 0.

"4.(9)5". Это обозначение разве является общепринятым? Я могу увидеть в нем смысл, и даже вижу его. Это предел последовательности, и он равен 5. Вы возразите, что это сама последовательность, с пределом равным 5, но об этом я писал в другой ветке.

Резюме. Вашим рассуждениям не хватает строгости. Вы пользуетесь объектами, которые не определили. Вы делите на ноль. Проведите все рассуждения аккуратно - и вы либо упретесь в противоречие, либо построите свою систему мат анализа.

Прежде всего, спасибо, что не поленились и написали большой и по-своему аргументированный текст.

С вашего позволения, я перечислю ряд фактов, на которые я опираюсь. Если вы не согласны с каким-либо из них - дальнейшее не будет иметь смысла.

1. Существуют вещественные числа. Вещественные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (с ограничением деления на ноль), результат этих действий - число.

2. Существуют последовательности вещественных чисел (или просто последовательности). Последовательности можно почленно складывать, вычитать, умножать и делить (с ограничением деления на ноль), результат этих действий - последовательность.

3. К последовательности можно прибавить число, отнять число, умножить на число или разделить на число (с ограничением деления на ноль), результат этих действий - последовательность.

4. Некоторые последовательности сходятся, т.е. имеют предел. Пределом последовательности является число.

5. Последовательность не не сравнима с числом, записи "А=В" или "А≠В", где А - последовательность, а В - число, не имеет смысла, потому что это объекты разной природы.

Теперь рассмотрим ваш комментарий. Если я правильно понимаю его, вы предлагаете следующие обозначения и определения:

1. "0.(9)" есть обозначение последовательности 0.9, 0.99, 0.999, 0.999 и т.д., ее предел равен 1.

2. "О" есть обозначение бесконечно малой последовательности - такой, что ее предел равен 0.

3. Последовательность 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 и т.д. - бесконечно малая.

Если мое понимание ваших мыслей верно, то написанное вами выражение "1/1=.9+.1=.99+.01=...=0.(9)+О=1=1/1" некорректно с моей точки зрения, потому что вы чередуете числа и последовательности. До многоточия у вас числа, потом последовательность, а потом снова числа. Корректно было бы "0.(9) + О -> 1". Это мелочи, но ведь ровно такую же мелочь в моем комментарии вы назвали ошибкой.

Еще раз попробую изложить в сжатом виде свой исходный пост:

1. 0.(9) есть обозначение числа.

2. Это число является пределом последовательности 0.9, 0.99, 0.999, 0.999 и т.д., если он существует.

3. Предел существует и равен 1.

Как видите, наше коренное различие - в том, какой объект скрывается за обозначением "0.(9)". Я говорю - это число. Вы говорите - это последовательность.

Я утверждаю, что все обозначения должны быть понимаемы однозначно, и в математическом обществе есть консенсус о том, что означает то или иное обозначение. Если бы в мире было бы только два математика - мы с вами - то наше противоречие было бы бескомпромиссным. Однако, математиков в мире много, и я утверждаю, что мой вариант обозначения "0.(9) это число" является общепринятым. Я не буду это подверждать и не прошу вас это опровергнуть. Ваше обозначение может быть проще, логичнее, понятнее - но это не играет значения. Только общепринятость.

Я могу предложить вам принять мою точку зрения - или прекратить эту дискуссию, потому что в ней уже нет математики. Вы знаете, что такое последовательности и пределы, и, кажется, смотрите за рамки классического анализа. Я же остаюсь в его рамках.

В 1960-х годах американский математик Абрахам Робинсон предложил так называемый нестандартный анализ. В нём, кроме действительных чисел, рассматриваются бесконечно малые величины, которые «по модулю» меньше любого действительного числа и при этом не равны нулю. У новой числовой структуры есть не менее строгое математическое обоснование, чем у системы действительных чисел. В нестандартном анализе все теоремы классического матана выводятся на одном дыхании и выглядят гораздо изящнее, чем на языке XIX века. Возможно, вам будет это интересно.

На сим откланиваюсь.