3/4+3/16+3/64… такая математика
1. Стремится к единице сумма первых N членов ряда при N стремящемся к бесконечности.
2. Сумма всего ряда целиком никуда не стремится, она в точности равна пределу, полученному на предыдущем шаге (т.е. единице).
раскрыть ветку (162)
Как мне нравится вот это:
"сумма первых N членов ряда при N стремящемся к бесконечности".
Важно, что сумма не всех до бесконечности, а именно первых до бесконечности. :)
раскрыть ветку (1)
Как можно сказать, что сумма ряда равна единице, если она бесконечна и всегда будет на бесконечно малую величину меньше одного?
раскрыть ветку (148)
Потому что "сумма ряда равна единице" и "она всегда будет меньше одного" - это две разные суммы. Частичная сумма ряда всегда будет меньше единицы, но стремится к ней при увеличении числа суммируемых членов. Полная сумма ряда (она же просто сумма ряда) равна пределу, к которому стремится частичная сумма. Она не стремится к пределу, потому что она и есть этот предел.
раскрыть ветку (61)
раскрыть ветку (59)
полная сумма ряда бесконечна
Нет. Полная сумма ряда - это предел. Предел - это конечное число, в данном случае равное единице. Ровно единице и ничуть меньше. Потому что сколь малую величину вы бы не отняли от единицы, будет существовать частичная сумма, превышающая ваш результат. Поэтому предел меньше единицы быть не может ни на сколь малую величину.
не достижима
Достижимость - это из теории графов. Если есть дорога из Москвы до Мухосранска, а из Мухосранска есть дорога до Хуежопинска, то Хуежопинск достижим из Москвы. К суммам рядов это никакого отношения не имеет, там понятия достижимости нет.
У рядов есть понятие сходимости. Если у частичных сумм ряда есть предел, то ряд называется сходящимся, а этот предел называется его суммой. Если такого предела нет, то ряд называется расходящимся. У ряда из поста такой предел есть, он равен единице. Сумма бесконечного ряда - это предел частичных сумм. Значит, эта сумма - единица. А единица - конечное число.
Да, вы не можете сложить бесконечное количество членов. Но вы можете поступить умнее и найти предел, к которому стремятся частные суммы, и его-то и назвать суммой бесконечного ряда. Математики так и сделали. И раз продолжают так делать, значит это работает.
Вы можете сказать, что это не имеет какого-то реального смысла. Но тогда можно дойти до того, что вы не можете иметь минус три яблока (вы можете только быть должны плюс три яблока) и более того не можете иметь ноль яблок (вы можете только не иметь яблок вообще). Можно сказать, что я довожу до абсурда, но ведь именно по этим причинам долгое время в математике не было ни отрицательных чисел, ни даже нуля. Но когда за ними всё-таки признали право на существование, то сразу жить стало легче и веселее.
раскрыть ветку (53)
Предел - это конечное число, в данном случае равное единице.
А есть такое официальное определение понятия "предел"? Интернет как-то не горит желанием им делиться.
раскрыть ветку (51)
раскрыть ветку (50)
раскрыть ветку (49)
Это типо первый месяц первого курса любого около математического направления в ВУЗе по предмету математический анализ. Но объяснять на словах максимально долго, особенно не используя кванторы. Где-то тут было определение предела в каноническом виде, но думаю, что вам от этого понятнее не стало =)
А что смущает? Предел последовательности в статье по ссылке определён вполне классически (см. рис.), а больше в данном случае ничего и не надо.
раскрыть ветку (47)
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.
Смущает отсутствие знака равенства.
раскрыть ветку (46)
раскрыть ветку (42)
раскрыть ветку (41)
Вы выбираете "a". Подставляется "a" во вторую строчку, если вы можете найти функцию N, такую что выражение будет верно, то "a" -- предел x1, x2, x3 ... Поэтому и равно нет, потому что приравнивать нечего.
Читается выражение : Для любого эпсилон существует функция N от эпсилон, что для любого n > N(e) выполняется |x_n - a| < эпсилон.
По-русски возьмем a, если для любой сколь-нибудь очень маленькой величины можно будет найти индекс в последовательности, что все значения, после этого индекса будут в ещё меньшей окрестности a (т.е. |x_n - a|), чем окрестность очень маленькой величины, то a -- предел.
Резюме: Если вы можете для фиксированного а сделать вторую строчку верной, то a -- предел, иначе нет
раскрыть ветку (40)
все значения, после этого индекса будут в ещё меньшей окрестности a
Но если я правильно понимаю, несмотря на размеры, с этими окрестностями мы так и не дойдем до самой а чисто по определению?
раскрыть ветку (39)
раскрыть ветку (38)
И на чем тогда базируется утверждение, что сумма ряда равна пределу, если максимум что мы можем - пофантазировать про окрестности?
раскрыть ветку (37)
По определению суммы бесконечного ряда. Там изначально подразумевается, что сумма есть только в предельном понимании, но это опускается. Возможно, там где-нибудь есть подобное утверждение, как 0.(9) = 1
раскрыть ветку (36)
раскрыть ветку (35)
Что же с вами будет, если вам рассказать, почему параллельные прямые не пересекаются.
Предупреждая вопрос, отвечу: по определению. По определению они не пересекаются. Потому что специально для таких прямых, которые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются, придуман термин - "параллельные".
Вот и в определении выше
Пределом последовательности называют объект
знаком равенства является слово "называют".
То есть для такого объекта придуман специальный термин - предел. Как для непересекающихся прямых.
раскрыть ветку (34)
Ну и что дальше? Как выяснилось объект с последовательностью тоже не пересекается. Что это должно доказывать?
раскрыть ветку (33)
Это не доказывается, это называется.
Не доказывается, что параллельные прямые не пересекаются, а непересекающиеся прямые лежащие в одной плоскости называются параллельными - потому что быстрее сказать "параллельные", чем "лежащие в одной плоскости и непересекающиеся".
Не доказывается, что рука является передней конечностью у человека, а передняя конечность у человека называется рукой, потому что быстрее сказать "рука", чем "передняя конечность".
Аналогично, не доказывается, что пределом является "объект, который ...", а "объект, который ..." называется пределом, потому что быстрее сказать "предел", чем повторять вот это вот всё "объект, который ..." и так далее.
раскрыть ветку (32)
не доказывается, что пределом является "объект, который
А никто этого и не говорит. Говорят что сумма ряда равна объекту. Но с чего бы, непонятно. Потому что захотелось?
раскрыть ветку (31)
раскрыть ветку (30)
раскрыть ветку (29)
раскрыть ветку (28)
раскрыть ветку (27)
В угоду удобству появляются термины.
Когда-то в математике не было термина "три". Первобытный человек видел три яблока и говорил: "яблоко, ещё яблоко и ещё яблоко". А потом чтобы так долго не говорить придумали называть число между двумя и четырьмя - "три". Никто не доказывал, что три - это число между двумя и четырьмя. Наоборот: взяли это число и назвали, за неимением лучшего слова, - "три".
Потом не хватало отрицательных чисел. Античный математик был должен ростовщику три яблока и говорил "я должен три яблока". Он не мог сказать "у меня есть минус три яблока", потому что не мог помыслить существование такого числа, к которому можно прибавить три и получить ноль - для него это был нонсенс. А потом более поздние математики взяли и помыслили такое число. Осталось его как-то назвать. И назвали, не долго думая, - "минус три". Никто не доказывал, что "минус три - это число, которое при сложении с тройкой даёт ноль". Наоборот: взяли это число и назвали "минус три".
Вот и вы сейчас, как тот античный математик, не можете помыслить сумму бесконечного ряда. А современные математики могут, и им с этим приходится работать. А чтобы с этим работать, желательно это как-то называть. И назвали его самым очевидным термином - суммой. Потому что она выглядит как сумма, плавает как сумма и крякает как сумма. Например, если вы сложите два (сходящихся) ряда, то и сумма получившегося ряда будет суммой сумм тех двух рядов. Или если вы умножите весь (сходящийся) ряд на какое-то число, то во столько же раз увеличится и сумма. А если ряд не условно, а абсолютно сходящийся (таким, например, является ряд из поста), то и слагаемые можно всяко-разно перемещать, а значение суммы не изменится.
А то, что вы не можете сложить до конца бесконечное количество слагаемых - так вы точно так же не можете иметь такое количество яблок, чтобы вам дали три, а у вас осталось ноль. Просто про отрицательные числа вам рассказали с детства, поэтому у вас они вопросов не вызывают. А вот античному математику не рассказывали - и у него вызывали, точно так же как у вас сейчас сумма бесконечного ряда.
раскрыть ветку (26)
не можете помыслить сумму бесконечного ряда
И вы тоже. При этом придумали понятие предела, но не используете его. Так что про яблоки это все демагогия и простыню строчить было не обязательно.
раскрыть ветку (25)
Как это не использую? Как раз через него и определяется понятие суммы ряда. Полная сумма ряда - это предел, к которому стремятся частичные суммы ряда. Поэтому полная сумма ряда ни к какому пределу не стремится - она сама уже является таким пределом. Предел никуда не стремится, потому что предел - это то, к чему что-то стремится.
раскрыть ветку (24)
А то, что вы не можете сложить до конца бесконечное количество слагаемых
Как раз через него и определяется понятие суммы ряда.
Ну мы вроде с того и начали, что определение тупо притянуто за уши.
раскрыть ветку (23)
Любое определение "притянуто за уши" - притянуть к слову какой-то смысл и значит определить его. Тем более в математике. Где вы видели такое количество, чтобы к нему можно было прибавить три, и ничего не осталось? Не бывает такого количества. А математики его придумали и назвали минус три. Совершенно нигде на практике это, конечно же, не применимо, и в школах чисто по приколу изучается.
раскрыть ветку (22)
Любое определение "притянуто за уши" - притянуть к слову какой-то смысл и значит определить его.
Что-то мне подсказывает, что к моменту появления необходимости подтягивать пределы к рядам, понятие суммы уже давно было определено.
раскрыть ветку (21)
Понятие суммы было определено для чисел. А это сумма ряда. Ещё бывает сумма векторов или матриц, например. Сумма функций c(x) = a(x) + b(x). Логическая сумма и сумма (объединение) множеств. И мало ли какие ещё. Ведь совершенно естественно для каждого нового рода объектов задаться вопросом - а что будет, если сложить два / несколько таких? И назвать ответ на этот вопрос суммой.
Что, для всех этих видов сумм теперь новые слова выдумывать? Все они получаются сложением в том или ином виде, выглядят как суммы, плавают как суммы и крякают как суммы.
А с вашим подходом можно сказать, что суммы определены только для натуральных чисел, ведь сложение придумали раньше, чем дроби или отрицательные числа, не говоря уже обо всяких иррациональных и комплексных. Поэтому если вы захотите сложить три и минус три, вам уже надо какой-то другой знак писать вместо плюса. А если добавите туда три четверти, то ещё третий знак.
А не проще ли при определении нового рода объектов расширить на него понятие суммы, чем каждый раз для одного и того же действия выдумывать новые слова?
К сумме конечного ряда у вас небось нет претензий? Хотя это тоже сумма ряда. По вашим понятиям надо было хрюммой обозвать, чтобы не путать. Вы скажете - ну так сумму конечного ряда определена через сумму его членов. Во-первых: ключевое слово "определена". Взяли сумму членов ряда и обозвали суммой самого ряда. Хотя сам ряд даже не сложили ни с чем! А можно было бы определить, что суммы ряда не бывает, а сумма членов ряда называется хрюммой ряда. Для бесконечного ряда вы так и хотите сделать, чем конечный хуже? Во-вторых и в главных: сумма бесконечного ряда тоже определена через сумму его членов. Конкретно через предел частичных сумм ряда, но ведь эти частичные суммы - это и есть суммы членов. Они получаются сложением. Если результат получается сложением, нет никакого смысла не назвать его суммой.
Как показать, что сумма дробей - это расширение суммы натуральных чисел, а не какое-то совершенно отдельное действие? Посчитать 2/1+2/1 и увидеть, что результат совпадает с 2+2. Давайте аналогично покажем, что сумма бесконечного ряда - расширение суммы конечного. Возьмём конечный ряд и допишем к нему в конце +0+0+0+... бесконечно раз. Посчитаем сумму как бесконечного ряда. Она совпала с суммой, которой обладал конечный ряд. Вот и всё.
раскрыть ветку (20)
Понятие суммы было определено для чисел.
А в посте что складывается.
Как показать, что сумма дробей - это расширение суммы натуральных чисел, а не какое-то совершенно отдельное действие? Посчитать 2/1+2/1 и увидеть, что результат совпадает с 2+2.
Посчитать и увидеть?
Возьмём конечный ряд и допишем к нему в конце +0+0+0+... бесконечно раз. Посчитаем
Какую-то хероту. Вот и все
раскрыть ветку (19)
Посчитать и увидеть?
А у вас не получится посчитать. Алгоритм, по которому это считается такой:
1) У нас есть определение суммы целых, но нет определения суммы дробей - мы только что придумали дроби и ещё не придумали как их складывать.
2) Определим, что дроби складываются приведением к единому знаменателю и сложением числителей.
3) Проверим, что получившееся определение является расширением сложения целых чисел, т.е. сложение целых является частным случаем сложения дробей.
3-А) возьмём целые числа 2 и 3, знаем что их сумма как целых 2+3 = 5.
3-Б) переведём в дроби 4/2 и 3/1
3-В) складываем по правилу из пункта 2: 4/2 сокращаем до 2/1, дальше складываем числители 2+3 = 5. Получаем 5/1, то есть 5.
4) Вывод: всё сходится, наше определение из пункта 2 работает.
А вы сломались ещё на пункте 2, назвав новое определение суммы какой-то херотой.
раскрыть ветку (18)
Я назвал херотой то что ты к сумме нескольких дробей влепил нулей в конец и назвал это бесконечным рядом.
раскрыть ветку (17)
раскрыть ветку (16)
раскрыть ветку (15)
Ничего себе, вы научились читать определения? Это прогресс. Давайте теперь научимся читать все определения, что есть в учебнике, а не выборочно только те, что вам нравятся. Потому что сразу после определения ряда всегда идёт определение его суммы. И там написано, что этой суммой называется предел частичных сумм ряда. Вы можете хоть залупой это назвать, а в математике это называется суммой.
раскрыть ветку (14)
И там написано, что этой суммой называется
предел частичных сумм ряда.хуета, ничего общего с понятием суммы не имеющая
Поправил, не благодари.
раскрыть ветку (13)
То есть одно определение вы принимаете, потому что вам нравится, а сразу следующее за ним не принимаете, потому что не нравится.
Ну и чем вы отличаетесь от античного математика, который скажет, что отрицательное число - это какая-то хуета, ничего общего с понятием числа не имеющая?
раскрыть ветку (12)
а сразу следующее за ним не принимаете, потому что
оно положило огроменный хер на предыдущее, на котором базировалось.
раскрыть ветку (11)
Это называется расширения понятия. Сначала учат натуральным числам, а потом оказывается что числом можно обозвать и дробь и даже отрицательное число - тоже хер кладут на привычное понятие числа. И это я вам ещё про комплексные не рассказал.
раскрыть ветку (10)
Сначала учат натуральным числам, а потом оказывается что числом можно обозвать
А куда потерялось слово "натуральное"?
раскрыть ветку (9)
раскрыть ветку (8)
Ряд в посте - это сумма чисел. Как считать сумму чисел определили еще до того как ряды придумали.
раскрыть ветку (7)
раскрыть ветку (6)
Ряд, называемый также бесконечная сумма — одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел. (с) Вики
раскрыть ветку (1)
В посте сумма? Сумма. Бесконечная? Бесконечная. Значит, это ряд. Как находится сумма ряда? По определению суммы ряда.
В посте сумма? Сумма.
Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике — результат применения операции сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования).
Опять же, (с) вики, бессердечная она сука.
Хрен его знает. Вроде пишут что-то про сложение, получается предел тоже результат сложения... вот и нафига было так все усложнять.
раскрыть ветку (1)
Предел вообще не результат сложения, но в данном случае находится предел результатов сложения. Получается, что полная сумма ряда - результат сначала сложения, а потом нахождения предела результатов этого сложения. Если вы будете арифметически складывать бесконечное количество слагаемых, то вам придётся провести бесконечное количество арифметических операций. Но к счастью есть такой раздел математики - математический анализ - как раз про пределы и вот это всё - который позволяет найти результат, что называется, аналитически.
Похожим методом пользовался ещё Архимед при нахождении числа пи. Он рисовал вокруг окружности описанные многоугольники, внутри окружности - вписанные. При количестве углов стремящемуся к бесконечности периметр многоугольника стремился к длине окружности. Уже много позже Ньютон, Лейбниц и так далее построили на этом деле современный матан с производными и интегралами. Забористая штука, в физике без неё никуда. Даже самая банальная скорость оказывается производной расстояния. А производная - это ничто иное как предел (отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю). Или взять интеграл - он, как известно, равен площади под графиком. Понятно, что площадь - это какая-то конкретная конечная величина. А оказывается что её можно найти через сложение бесконечного количества бесконечно малых величин (чем и является интегрирование). То есть примерно тем же, что представлено в посте.
математический анализ - как раз про пределы и вот это всё - который позволяет найти результат, что называется, аналитически.
Другими словами не по факту, а предположительно. О чем, собственно, и орет само понятие предела. Но раз доказать утверждение в принципе невозможно, то чем конкретно тебя не устроила фраза, что оно притянуто за уши?
Чем например не утроил вариант записи
3/4 +3/16+3/64...≈1
Что буквально и значило бы, мол считать заебались, решили маленько срезать угол. И ни у кого никаких вопросов. Profit
раскрыть ветку (1)
А что такое по факту и предположительно? Вот 3+3=6 - это по факту? Где вы видели по факту три и по факту шесть? Это абстракции. По факту существуют яблоки и груши. Таких объектов как три и шесть по факту не существует, они существуют только в математике как абстракции.
Если у Вовочки 6 яблок и 3 он отдаст Машеньке, то предположительно у него останется 3 яблока. А по факту у него останется 6, потому что ничего он Машеньке не отдаст. А по другому факту у него ни одного не останется, потому что он их все съест. А по третьему факту три яблока не равны трём яблокам, потому что одни три яблока большие и спелые, а другие три маленькие и несозревшие. Так что факты - вещь такая, ненадёжная. В отличие от математики, где всегда всё чётко и однозначно: шесть минус три равно три и точка. А яблок в математике нет.
Возьмите площадь квадрата как показано в посте и посчитайте двумя разными способами. Первый способ - умножить длину на ширину. Если длина квадрата равна 1, то площадь тоже равна 1. Ровно точно 1, безо всяких приближений. Второй способ - через указанный в посте ряд. Получается ровно тот же самый результат. С чего бы вдруг ставить приближённое равенство? Вы считаете, это случайно так точно совпало? Могло бы оказаться, что ряд дал 1, а формула площади дала бы 1.001? Хорошо, возьмите другую какую-нибудь фигуру, для которой знаете формулу площади. Посчитайте по формуле, потом посчитайте ещё раз через интеграл. Если у вас хотя бы в одном случае получится какая-то разница, то с чистой совестью можете ставить приближённое равенство. Но такой разницы вы не найдёте.
И ещё раз аналогия на пальцах.
У Вовочки было шесть яблока. Ему дали ещё два, а потом пять отобрали. Сколько яблок у него теперь?
Можно решить эту задачу двумя путями:
1)
6+2=8 яблок стало у Вовочки после того, как ему дали ещё два
8-5=3 яблока осталось у Вовочки после того, как пять отобрали
2)
2-5=-3 общая разница по всем транзакциям
6+(-3)=3 яблока по результату
А вы предлагаете во втором методе писать только приближённое равно, потому что там использованы предположительные отрицательные яблоки, а значит и результат получается "не по факту, а предположительно".
Но опять и снова доказательством того, что равенство точное будет то, что результат всегда будет сходится с первым методом. Никогда у вас не получится, что по методу с отрицательными числами у Вовочки оказалось 3 яблока, а по методу без них 2,999.
"По факту" комикс состоит из пикселей, а те из атомов, которые дальше не делятся и вообще понятие площади теряет смысл на масштабе, где все атомы уже не лежат в одной плоскости. Но это то же самое, как "по факту" у Вовочки останется 2,999 яблока, потому что они со временем усыхают (а может быть даже 2,7, потому что он одно надкусил). В обоих случаях к математике это никакого отношения не имеет, потому что она оперирует абстрактными бесконечно делимыми площадями и абстрактными неусыхающими даже не яблоками, а количествами. И в математике точно так же как у Вовочки останется ровно 3 яблока, и площадь квадрата тоже будет ровно 1, безо всяких приближений.
из https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика)
Если последовательность частичных сумм имеет предел S (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S. При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится[1].
раскрыть ветку (2)
Если последовательность частичных сумм имеет предел S, то говорят, что сумма ряда равна S.
Это свойство последовательности, а не определение понятия предела.
раскрыть ветку (1)
Не скажу, потому что вы всё правильно расписали, просто я не очень силён в длинных математических описаниях.
А так да, многие математические вещи, при попытке их применения к реальным объектам вполне себе абсурдны.
Потому, что математик не наука, а инструмент.
у нас уже есть целое, равное условной единице. От этого целого мы отрезаем определенную долю, а от того что отрезали снова отрезаем долю, и так до бесконечности. Если сложить все наши обрезки то получим исходную единицу
ещё комментарии
ээээ но мы же никогда не сможем физически отрезать бесконечность? Сколько ни считай, как ни тужься, но мы никогда не просчитаем бесконечность, у нас всегда от единички будет что-то оставаться.
раскрыть ветку (2)
ещё комментарии
ещё комментарии
раскрыть ветку (78)
раскрыть ветку (27)
раскрыть ветку (26)
ещё комментарии
Кстати, да. Вот не понимаю, как у него в голове укладывается религия и наука. Видимо, правильно говорят, что все учёные немножко сумасшедшие.
раскрыть ветку (24)
По его мнению, само существование математики со всеми её логичными теоремами и доказательствами является доказательством существования бога. Иначе в математике всё так не укладывалось бы по полочкам. Nuff said.
раскрыть ветку (7)
Это нам она кажется простой и логичной. Просто потому, что вся математика является следствием строения нашего мира.
Не мир такой, каким мы его видим, потому что есть математика и она вот такая. Но математика такая, какая есть, потому что мир такой, какой он есть.
раскрыть ветку (6)
А простым и логичным нам кажется то, что хорошо ложится в наш разум, сформированный в процессе естественного отбора в условиях этого конкретного мира.
Нет. Математика как и формальная логика лежат над миром и являются общими для любого из миров (если они существуют). Это фундаментальные закономерности в самом фундаментном смысле слова. Если бы наш мир не существовал, закономерности математики оставались бы такими, какие они есть.
Имхо, связь математики с окружающим миром заканчивается на натуральных числах. Ну дроби с нулем еще куда ни шло, а отрицательные числа - уже все. Синусы, косинусы, пределы. Вот, скажите, где в нашем мире мы пользуемся квадратными уравнениями? А комплексные числа?
раскрыть ветку (3)
https://habr.com/ru/company/timeweb/blog/548564/
https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число#Квантовая_механика
раскрыть ветку (2)
Ну, конечно. Я же кванты вот на завтрак ел. Точно! Мало калории считать, надо еще кванты высчитывать. А тут без мнимой единицы никуда.
раскрыть ветку (1)
Так и сказал бы, что не "в нашем мире", а "в повседневной жизни". Потому что в нашем мире используется всё, что написано в учебниках, а вот в жизни ты да, можешь только умножение и деление использовать
раскрыть ветку (7)
А теперь сходите на кафедру естественных наук и скажите то же самое. Громко и внятно. Только не удивляйтесь потом, что вас начнут бить подручными предметами.
раскрыть ветку (6)
А теперь прочитайте определение естественных наук. Может до вас дойдет, что математика к ним не относится.
раскрыть ветку (4)
А однажды, в далеком-далеком будущем, даже до таких как ты дойдёт, что в приличном образованном обществе недопустимо подавать спорные тезисы как незыблемую общеизвестную истину.
Хотя вряд ли я до такого прогресса цивилизации доживу, ибо "нет лекарства от глупости".
раскрыть ветку (3)
Сначала до вас должно дойти, что приход на кафедру не является аргументом в выяснении относится математика к естественной науке или нет и рассказы про далекое-далекое будущее тоже аргументом не являются.
Зато отсутствие у математики объекта изучения (как там написано, количественные отношения и пространственные формы? т.е. математика изучает саму себя) и неиспользование ей научного метода такими аргументами являются.
Как говорится в одной шутке -- науки бывает естественные, неестественные и сверхъестественные. Согласно ей математика наука сверхъестественная.
Такое впечатление, что признание математики не естественной наукой нанесет ей какой-то урон. Ну или математики обидятся. Математика самодостаточна и стоит особняком от остальных наук, как естественных, так и гуманитарных.
раскрыть ветку (1)
Вот если бы ты сразу сказал, что математика особняком и самодостаточна, т.е. почесал за ушком математиков местных, то не отхватил бы минусов)
Подождите. А в чём противоречие существования бога и математики? Если кто-то говорит, что бога нет потому что он верит в науку, значит он просто не понимает, что такое бог))
Все просто, так как вероятность существования бога не может быть опровергнута, то имеем, что его вероятность хоть и стремится, но не равно нулю, то получается, что таки да, бог есть.
раскрыть ветку (6)
Существование бога не может быть подтверждено. А если утверждение не имеет неопровержимых доказательств, тогда это утверждение является гипотезой. А гипотеза - это просто мнение. И без доказательств вся ваша софистика яйца выеденного не стоит.
раскрыть ветку (2)
Любовь вон тоже никто доказать не может, но пойди, скажи жене, что любви нет и сразу уверуешь в её наличие))
раскрыть ветку (1)
Все просто, так как вероятность перепихона со Скарлетт Йоханссон хоть и стремится, но не равна нулю, то получается, что таки да, я с ней потрахаюсь.
раскрыть ветку (2)
ещё комментарии
ещё комментарии
раскрыть ветку (29)
ещё комментарии
раскрыть ветку (27)
для меня 0,(9) бесконечно близко к 1 .у меня много вопросов .
0,(9) + 0,(9) = 2 или 1 + 0,(9) = 2 ?
раскрыть ветку (21)
ещё комментарии
дроби мне нечего не доказали) у компьютера есть лимит операции он бесконечно умножать не может он в какой-то момент округлит) да если на калькуляторе делать что они говорят то будет 1 . ну допустим я вечно буду перемножать 0,(3) на 3 в какой момент я получу 10?
раскрыть ветку (15)
Если будете считать вручную, то вы никогда не получите какой-либо конечный результат. Будете считать бесконечно. Тут работает только аналитический подход.
раскрыть ветку (14)
тогда это "погрешность системы" лично мое мнение . это как у физиков ядерщиков все абстрактами и "натягиванием сов на глобус" . работает не трогай) у числа pi есть погрешность ,а тут прям строгое утверждение) хз не могу этого принять : )
раскрыть ветку (12)
Для получения всех цифр числа pi нужно произвести бесконечное количество вычислений.
Для получения всех цифр числа 0.(3) можно тоже произвести бесконечное количество вычислений. Но необходимости в этом нет, так как все цифры известны.
раскрыть ветку (11)
раскрыть ветку (3)
Если брать строгое утверждение, то нет. Если пренебречь несущественной частью, то да. Зависит от того, для каких целей и где это применяется
раскрыть ветку (2)
поподробней если есть примеры) я в конце наверну буду так к математике ........
VK●0:05
раскрыть ветку (1)
Например, если ты делишь один метр доски на три равных доски, то погрешностью 0.(0)1 можно пренебречь и сказать, что разделено ровно на три части.
так для этого я и рисовал вот это . ониже не могут стоять на одной координатной точки? они бесконечно близко .
раскрыть ветку (6)
ониже не могут стоять на одной координатной точки? они бесконечно близко .
По аксиоматическим определениям чисел, если между двумя числами a < b невозможно поставить такое, чтобы a<c<b - то числа а и b равны.
Кроме того, числа аксиоматически определяются как последовательность цифр, бесконечная в обе стороны от начальной позиции, отделяющей целую часть от дробной.
Цифры могут быть из любого конечного упорядоченного алфавита - это определяет "систему счисления".
Бесконечное множество нулей принято на записи пропускать, а бесконечно повторяющиеся комбинации сокращать до периодов;
таким образом "(0)1.(0)" -> 1
и (0).(9) это альтернативная запись (0)1.(0)
(по крайней мере примерно так выглядит один из вариантов аксиоматики, вроде бы есть и другие, но это неточно)
раскрыть ветку (3)
раскрыть ветку (2)
Наверное, тебя просто спутали с типичным воинственным невежеством, которое "нет, такованибываит", которых тут в топике можно найти вагон и маленькую тележку ;)
лови плюсик
Если хочешь разобраться, а также слегка прихуеть рекомендую книгу «Простая одержимость». Спец знаний и мат образования не нужно, все в меру доходчиво, написано для любопытствующего обывателя. Хотя тема сильно шире и посвящена Гипотезе Римана, все начинается с объяснения рядов на пальцах.
У одного и того же числа могут быть разные способы его записать. Например, число 1/2 можно записать как 1/2, как 0,5 или даже как 50%. То же самое с числом 1 - его можно записать как 1/1, как 100%, как 1,(0) или как 0,(9). А по-римски так и вовсе I, и всё это всё равно единица. Вы же не скажете, что есть какая разница между 1 и 1,(0) или там между 1/1 и римской I. Вот точно так же ничего нет и между 0,(9) и 1. Потому что это всё одно и то же, просто записанное по-разному.
Так ты и не там нарисовал. 0.(9) на твоём графике будет в той же точке, что и 1. Чуть чуть левее, настолько левее, что ты не заметишь
ещё комментарии
0,(9) бесконечно близко к 1
Нет такого понятия как "число бесконечно близко к числу". Никакая "бесконечно малая величина" не существует сама по себе. Для того, чтобы можно было сказать, что величина куда-то стремится (например разница между 1 и 0.(9) стремится к нулю, т.е. бесконечно мала) - необходимо, чтобы какой-то аргумент этой величины куда-то стремился - например "1/х стремится к нулю, если х стремится к бесконечности".
Единственная "бесконечно малая величина", существующая отдельно от аргумента - это чистый ноль и есть. Ноль разницы, тождественно равно.
Ну и если взглянуть с другой стороны - 0.(9) это уже и есть предел последовательностей 0.9, 0.99, 0.999, ... 0.999999999, ...
Вот разница между каждым элементом и единицей - она действительно "пока ещё стремится" к 0. А на бесконечности цифр после запятой - строго равна, как и любой другой предел.
раскрыть ветку (3)
так окей последний тупой вопрос что я получу если сделаю так 0.(9) + 0.(1) = ? :)) так любопытно )
раскрыть ветку (2)
Примерно 1.1. С увеличением количества цифр в изначальных числах ты получишь только увеличение количества единиц после запятой.
ещё комментарии
ещё комментарии
Видел я это доказательство от Саватеева. Вопросы остались почему такую же логику нельзя применить к сопоставлению рациональных чисел с иррациональными. Он ответил что там очень сложная аксиоматика.
раскрыть ветку (2)
К сожалению, я уже не способен поддерживать данную беседу на высоком уровне. Годы вымывают из головы специальные знания, оставляя лишь общее понимание.
раскрыть ветку (1)
раскрыть ветку (16)
Не помню доказательство предела бесконечного ряда, прошло уж больше 10 лет, как физмат закончил. Но есть интересное доказательство, что 0,(9)=1 *если что 0,(9)=0,9999.... И так до бесконечности*
Мы утверждаем, что 0,(9)=1. Прибавим столбиком к обеим частям равенства 0,(1)
0,9999...
+
0,1111...
------------
1,1111...
В правой части, очевидно, получается 1,1111...
Вот и выходит, 1,(1)=1,(1)
Поскольку к обеим частям выражения прибавляли одно и то же число, тогда получается, что равенство 0,(9)=1 верно.
С пределом ряда похожая ситуация. В математике ничего не утверждается безосновательно. Хотите разобраться - вперёд, матанализ вам в помощь. И удачи...
Мы утверждаем, что 0,(9)=1. Прибавим столбиком к обеим частям равенства 0,(1)
0,9999...
+
0,1111...
------------
1,1111...
В правой части, очевидно, получается 1,1111...
Вот и выходит, 1,(1)=1,(1)
Поскольку к обеим частям выражения прибавляли одно и то же число, тогда получается, что равенство 0,(9)=1 верно.
С пределом ряда похожая ситуация. В математике ничего не утверждается безосновательно. Хотите разобраться - вперёд, матанализ вам в помощь. И удачи...
раскрыть ветку (2)
Может я тупой, но тут всё дело в некотором несовершенстве, если можно так сказать, существующих систем счисления, ведь по всей логике "последняя" девятка должна стать нулём, но её тупо нет, оттого и выходит, что 0,(9)+0,(1)=1,(1). Но я, повторюсь, вполне могу быть туп, так что не бейте меня
раскрыть ветку (1)
Где то когда то в бесконечности она её достигает.
Тот факт, что ряд бесконечен, означает, что достигает в конце бесконечности (а бесконечность бесконечна).
Это как корень из -1. Это ФИЗИЧЕСКИ не возможно и абсурдно, но математически используемо.
Не путайте с асимптотой, которая стремится аки юный мальчик в женское лоно, но достигнуть не может.
раскрыть ветку (12)
Корень из -1 использует комплексные числа, которые также используются для решения уравнения волновой функции в квантовой физике. То есть физически это возможно )
ещё комментарии
Используется, но ты можешь физически представить корень из -1?
Ну то есть, сможешь описать такое число, которое при умножении давало бы -1?
И да, КОРЕНЬ из -1 не использует комплексные числа, он их порождает.
Само определение комплексного числа строится на корне из -1.
раскрыть ветку (10)
Физически чисел не существует, вообще никаких, а не только корня из -1. Числа это чистая абстракция.
И определение комплексного числа не строится на корне из -1. В определении мнимой единицы нет никакого корня.
Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен -1
ещё комментарии
раскрыть ветку (3)
раскрыть ветку (2)
Ну во первых, квадрат числа которого равен -1, это ровно то же самое, что и корень числа -1.
Определение комплексного числа строится на вещественной и комплексной части, комплексная часть строиться на определении мнимой единицы, что на моё скриншоте и написано.
раскрыть ветку (1)
Ну во первых, квадрат числа которого равен -1, это ровно то же самое, что и корень числа -1.
Нет, это не тоже самое. При извлечении квадратного корня всегда получается два ответа, в случае -1 это i и -i.
Именно поэтому мнимая единица определяется как число квадрат которого равен -1, а не как корень из -1.
ещё комментарии
Ну то есть, сможешь описать такое число, которое при умножении давало бы -1?
Разумеется, оно равно i. Твоя проблема в том, что ты пытаешься доказать, что "i не является числом", обосновываясь на том, что "i это не число". Чистые сепульки.
А если обратиться к базовым определениям чисел в математике, то обнаружится, что алфавит цифр может быть примерно любой, а правила математических операций на ним - тем более.
ещё комментарии
Да, алфавит цифр может быть любым, но только вот i не цифра даже. i это неизвестная. Фактически, мы не знаем, чему равен корень из -1, но мы считаем, что он существует.
ещё комментарий
А ты можешь физически представить, что любая частица это и корпускула и волна? И никаких абстракций, самая настоящая реальность. Мир сложнее, чем нам подсказывает интуиция и бытовой опыт)
ты можешь физически представить корень из -1?Проще простого: https://youtu.be/kicp_odjsRs?t=92
К слову, квантовые взаимодействия судя по всем происходят в большем числе измерений пространства-времени чем 4.
ещё комментарии
ещё комментарии
ещё комментарии
Два числа различны, если между ними можно вставить ещё одно число.
Если ещё одно число вставить нельзя, то два числа равны.
Так: 0,(9)=1, например
раскрыть ветку (1)
Вставить всегда можно,если только речь не идёт о целом. Все эти расплывчатые формулировки из ВМ.
А сумма всех натуральных чисел равна вовсе не бесконечности и даже не стремится к нему, а равна -1/12. Прикинь)))
раскрыть ветку (2)
Можно офтопом воспользоваться вашими экспертными знаниями и спросить чему равна сумма квадратов бесконечного числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю, а их сумма равна единице? Т.е.
a+b+c+...=1
a²+b²+c²+...=?
раскрыть ветку (6)
каждое из которых стремится к нулю
А точно именно "каждое слагаемое стремится к нулю", а не "последовательность слагаемых стремится к нулю" ?)
Большая разница
Ну и осмелюсь предположить, что в общем виде ответа не будет, все зависит от конкретного вида последовательности a,b,c...
ещё комментарии
По условию слагаемые - доли целого. Задача найти (минимальное теоретически возможное) значение функции, равной сумме квадратов долей целого, если долей бесконечно много. Соответственно, сумма долей равна 1, число этих долей - бесконечно большое, а значение каждой из них - бесконечно малое.
раскрыть ветку (2)
Тогда звучит очень сложно
Я бы попробовал представить это в виде функции f(n, k), такой, что
- для любого k1 предел суммы f(n, k1) по всем n равен 1 (сумма в любой строке сходится к 1)
а предел f(n1, k) для любого n1 при k->inf равен 0 (вертикальный ряд сходится к 0)
а найти соответственно надо минимум от "сумм (f(n,k))^2 по всем n", среди всех k (т.е., считай, другая бесконечная "таблица")
тогда ряд наподобие того что в посте может оказаться одной из строк
и на его примере можно попробовать обобщить до f(n,k) = (k-1)/(k^n)
но кстати это не поможет доказать минимальность ответа, если он не окажется нулём
и это я только математическое представление задачи десять минут сочинял)
а как начать решать лично я ваще хз)
Как обычно, нужно что-то креативное, начинающееся со слов "заметим, что"
Если взять равные доли, то первое выражение можно будет представить как n*1/n = 1
А второе превратится n*1/n^2 => 1/n
При n стремящимся к бесконечности выражение будет стремиться к нулю
Ну и, насколько я помню, при сумме первого бесконечно малых второго порядка получится бесконечно малое первого порядка (но доказывать или искать доказательство мне лень)
А если убрать условие на то, что каждая часть бесконечно малая, то можно получить любое наперёд заданное число в интервале (0;1]
... А ещё у вас неотрицательность не упоминается, так там вообще можно любое наперёд заданное число получить :)
ещё комментарии
раскрыть ветку (2)
Ишто. Мы его сами введём для обозначения номера каждого слагаемого (а также их количества в отдельно взятой частичной сумме)
ещё комментарии
Многоточие включает в себя всё бесконечное множество последующих слагаемых. И на бесконечности сумма уже никуда не стремится, она строго равна 1, потому что уже "достремилась".
раскрыть ветку (2)
раскрыть ветку (1)
Именно. Вселенная крута тем, что несмотря на свою значительную математичность, она умеет больше, в том числе делать и не математические штуки, например позволяет ахиллесу догнать наконец черепаху
Нет, равно. Ведь выражение слева это уже предел. Многоточие намекает, что слева уже результат записан.
ещё комментарии