Русский язык... люблю его⁠⁠

Хм, доказательство теоремы Пуанкаре довольно сложное и формальное, вряд ли его можно представить в виде короткого комментария. Но я попробую изложить основную идею.

Итак, Пуанкаре берёт некое отображение F из области U в многомерном пространстве. Предположим, это отображение деформирует и скручивает U очень сильно.

Чтобы доказать, что топология сохраняется, Пуанкаре строит вспомогательную конструкцию - отображение Fʹ, которое деформирует U гораздо мягче и плавнее. Затем он показывает, что можно непрерывно деформировать Fʹ обратно в исходное отображение F.

Как именно строится Fʹ и доказывается возможность непрерывной деформации - это очень сложные технические детали, требующие строгих математических рассуждений.

Но суть в том, что Пуанкаре "ослабляет" сильно деформированное отображение, а затем показывает, как плавно вернуть ему исходную "крутизну". Этим он доказывает, что скрученные отображения сохраняют топологию.

К сожалению, формальное доказательство здесь вряд ли удастся представить в интуитивном виде. Но я постарался объяснить основную идею Пуанкаре в общих чертах.