Наконец-то появилась свободная минутка)
Некоторые методы, которые могут пригодиться:
1. Метод от противного.
Заключается в следующем: нам нужно доказать, что А верно. Предполагаем, что верно не А(например нужно доказать, что не более 10 лет, тогда предполагаем, что хотя бы 10 лет). Далее из этого предполажения делаем выводы, после чего приводим к противоречию(например из хотябы 10 лет следует, что их хотябы 20, а в условии не больше 15). Из этого получаем, что предполажение не А неверно и, следовательно, верно А. Суть его проста, но зачастую он помогает привести строгое доказательство.
Пример: докажите, что корень квадратный из двух является иррациональным числом.
Пусть является. тогда он представим в виде р/к несократимой, где р и к целые. тогда р^2/к^2=2. тогда р^2=2к^2. Т.к. мы взяли несократимую дробь, то делится на 2 может только одно из чисел р или к. из рав-ва видно, что р обязано делится на 2. но тогда р^2 делится на 4. но тогда к делится на 2. Пришли к противоречию. Значит это число не явл. рациональным, т. е. иррациональное.
2. Индукция.
Допустим нужно доказать что-то, что верно для всех натуральных чисел(например для любого правильного многоугольника, что опр. натуральным числом его сторон). Для этого доказываем базу(например для 1 или любого другого числа, начиная с которого нужно доказать). далее предполагается, что для любого числа меньше либо равного н верно и из этого доказываем, что верно для н 1.
пример: доказать, что любую сумму более 8 рублей можно уплатить монетами по 5 и 3 рубля.
база. докажем для 8 9 10(нужно доказать для 3-х, т.к. при переходе доказательство использует верность утверждения для количества рублей на 3 меньше) 8=3 5, 9=3 3 3, 10=5 5.
Переход. Пусть можно для всех, меньших н. докажем что можно для н 1. по предполажению для н-2 можно. тогда разобьем так, как можно и добавим монету в 3 рубля.
3. Поиск инварианта.
Если нужно доказать, что чего-то НЕ может быть, то бывает полезным найти некий инвариант, которому это не удовлетворяет. Инвариант это свойство, которое в условиях данной задачи всегда сохраняется( например если есть некое количество чисел, то как бы между ними не расставил знаки и - четность или нечетность будет одна и та же). Таким образом может быть только то, что условию данного инварианта удовлетворяет.
Пример:
Вася рвет газету на части. каждый раз он разрезает один кусок на 4. может ли в итоге оказаться 2013 кусков?
Каждый раз Вася добавляет по 3 куска. изначально был 1. сколько бы раз он не рвал он добавляет количество кусков, кратное 3, значит на любом шаге количество кусков даёт остаток 1 по модулю 3(инвариант). Но 2013 делится на 3, значит такого быть не может.
4. Принцип Дирихле. На примере: в классе 25 человек. Докажите, что обязательно есть трое, родившиеся в один месяц.
Пусть не так. Тогда в каждом месяце родилось не больше двух. Тогда всего детей не больше 122=24, а их 25. противоречие( это определённый стиль размышления при доказательстве от противного)
Некоторые знания, которые могут помочь:
1. Сравнение по модулю. а сравнимо (ср) с б по модулю с(мод с) тогда и только тогда, когда а и б дают одинаковые остатки по модулю с или, что тоже самое а-б делится на с( обозначение: а (знак равно с 3 черточками) б (mod c) )
Некоторые свойства:
если а ср б, то а к ср б к, ак ср бк.
Если а ср б, б ср к, то а ср к.
Если а ср б, к ср н, то а к ср б н, ак ср бн
Если а ср б, то а^н ср б^н.
Пример задачи: найти все решения уравнение в простых числах а^2 5б^2 = 49.
Решение: пусть а делится на 3, т.е. а ср 0(мод 3). тогда из рав-ва получаем, что 5б^2 ср 49. 49 ср 1, 5 ср 2. следовательно получаем, что 2б^2 ср 1. если б ср 0 - неверно, б ср 1 неверно, б ср 2 неверно. Значит такого быть не может (полезный факт квадрат числа сравним либо с 1 либо с 0 по модулям 3 и 4). Следовательно, а не делится на 3. тогда а ср 1 или 2 по мод 3. в любом случае а^2 ср 1 по модулю 3. тогда 1 2б^2 ср 1, следовательно 2б^2 ср 0. Т.е. делится на 3. Т.к. 2 и 3 взаимно просты, то отсюда следует, что б^2 делится на 3. значит, т.к. б простое, то б=3. Отсюда находим, что а=2. И это ед. решение.
2. Формула включения и исключения.
проще всего показать на примере. Пусть есть а1 человек, которые знают английский, а2 человек, которые знают фр, а3 человек, которые знают нем. б1 человек, знающих и анг и фр, б2 человек, знающих и нем и фр, б3 человек, знающих и нем и анг, и, наконец, с человек, знающих все 3 языка. Тогда всего людей знающих хоть какой-то язык а1 а2 а3-б1-б2-б3 с (сначала считаем всех, кто знает какой-нибудь. тогда тех, кто знает несколько мы посчитали ровно столько раз. вычтем тех, кто знает по два языка, тогда тех кто знает ровно 2 посчитали 1 раз, а тех кто знает все 3 сначала 3 раза добавили, потом 3 раза вычли. значит добавим их)
Пока все. Всем удачной сдачи ЕГЭ)
