Разминка мозга-8
Предыдущую Разминку решили в момент, пред-предыдущую тоже хорошо погрызли, поэтому вот вам новая троица задачек:
Задача девятнадцатая.
Одному нищему, у которого в кармане было несколько медяков, на мосту встретился чёрт и предложил сделку: пусть тот десять раз пройдёт по мосту вперед-назад, а за это в начале перехода по мосту чёрт будет добавлять к имеющимся медякам тысячу таких же монет, а в конце — забирать половину от всех монет.
Мог ли остался нищий в выигрыше после десятого перехода, если известно, что все монеты были одинаковые и суммы всегда делились нацело?
Задача двадцатая.
Аладдин и Джинн играют в игру на квадратной клетчатой доске 100х100. В начале игры вся доска белая. Первый игрок ставит фишку на угловое поле (оно чернеет) и двигает её по горизонтали или вертикали на сколько-нибудь клеток. При этом все клетки, по которым продвинулась фишка, включая конечную, чернеют. Фишку нельзя двигать через чёрные клетки (и останавливать на черных). Кто не сможет сделать ход — проиграл. Игру начинает всегда Джинн. Кто выигрывает чаще, если оба придерживаются наилучшей стратегии игры?
Задача двадцать первая.
Вход в пещеру с сокровищами сорока разбойников закрыт на хитроумный замок: вращающийся на постаменте короб с абсолютно одинаково выглядящими четырьмя отверстиями по окружности. Внутри каждого отверстия рычаг на два положения "вверх-вниз". Али-Баба может засунуть руки в любые два отверстия, пощупать и передвинуть (или не передвинуть) рычаги в каждом из этих отверстий. После этого короб некоторое время быстро крутится вокруг вертикальной оси, так что определить на глаз, в какие отверстия засовывались руки, невозможно. Пещера откроется, если Али-Баба сможет передвинуть все выключатели в одно положение не более чем за десять попыток.
Ответы на Разминку мозга-7
16. 5 метров, потому что любой вписанный в окружность прямой угол лежит на её диаметре.
17. Прямая линия, проходящая через центр любого прямоугольника, делит его на две равные части, поэтому разрез нужно провести через центр торта и центр вырезанной части.
18. Внучки на пятнадцатый день рождения поначалу звучит нелепицей, но в этом факте ключ к решению: Петя родился 29 февраля и отмечает свой день рождения раз в четыре прожитых года. Следовательно, ему на пятнадцатый день рождения стукнуло 60 лет. Т.е. он получил 8+12+16+…+52+56 = 448 подарков.
Ответы на Разминку мозга-6
13. Пока ответа не даю.
14. До 1/3 добычи. Рассмотрим 30 самых обделённых при дележе разбойников. Так как у них в сумме не более 3/4 той суммы, которую получили все разбойники, и в то же время у них более половины всей добычи (по условию), то на долю всех разбойников выходит более (1/2)/(3/4) = 2/3 всей добычи. То есть Али-Бабе может достаться почти 1/3 добычи максимум.
15. 30000 таньга.