Дробное измерение (или как передоз порядка ведет к хаосу)⁠⁠

Фрактал Мандельброта

Как говорится, слово – не воробей, и вот подоспело обещанное продолжение к предыдущей заметке про фракталы. Если кто-то ее не видел, милости просим сюда. Правда, стоит предупредить заранее: этот текст вышел посложнее, так что если вы просто заглянули почитать в перерыве что-то легкое и занимательное под кофеёк, то идите своей дорогой, потому что сегодня мы затронем математику беспорядочного. Но обо всем по порядку *и никакой тавтологии*.

Какова размерность куба? На интуитивном уровне мы понимаем, что она равна трем, ведь в кубе есть три направления для движения: вперед-назад, вправо-влево, вверх-вниз. Такая пространственная размерность (да, не поверите, они еще и разные бывают) приближенно равна топологической. Не забивайте себе голову, просто дальше мы будем использовать именно это слово, чтобы какой-нибудь господин математик не забросал нас тапками. Для разминки, попробуйте определить топологическую размерность шара, сферы и линии. Да, это проще простого: у шара = 3 (как и у куба), у сферы = 2 (так как по сфере мы можем перемещаться только в двух направлениях), ну и у линии = 1, ведь по линии мы можем идти только вперед и назад.

Легко представить двух- или трехмерный объект, а если у вас достаточно развита фантазия, то вы и четырехмерный куб навоображать сумеете. Он, кстати, называется тессеракт *где-то в мультивселенной поперхнулcя Локи*. Но как насчет объектов, размерность которых является дробью? Слабо представить что-нибудь, скажем, 1,25-мерное?

Да ладно, не ломайте себе психику: дробной топологической размерности не бывает, ее свойство как раз в том, что она выражается только целыми числами. Так что не пытайтесь вообразить, как выглядит три четверти направления в пространстве.

Зато фрактальная размерность – всегда дробная! Знаю, звучит бредово, но, говоря о фракталах не стоит представлять направления движения по ним, потому что фрактальная размерность скорее показывает, насколько плотно кривая заполняет плоскость или насколько хорошо плоскость заполняет пространство. Слишком мудрено? Вот вам небольшая визуализация: если мы возьмем лист бумаги, сомнем очень много раз и положим под пресс, мы все равно не сможем сохранить его таким же плоским, как в выпрямленном состоянии. Таким образом, являясь сам по себе двумерным объектом, лист бумаги вышел за его рамки и заполнил трехмерное пространство. То же самое можно придумать с кривой линией: зная, что кривая фрактала бесконечно сложная – она будет заполнять двухмерную плоскость, хотя сама по себе одномерна.

Кроме того, размерность фрактала как бы показывает нам, насколько извилистей он своего «правильного» целого брата. Например, размерность кривой Коха равна примерно 1,26 – из чего мы можем сделать вывод, что она настолько сложнее обычной кривой линии (у которой размерность 1), что находится в подвешенном состоянии между статусом одномерного и двумерного объекта. Снежинка Коха слишком сложна, чтобы быть одномерной, и слишком проста, чтобы зваться двумерной. А вот прямая линия никак не заполняет плоскость, причем не потому что она бесконечно тонкая, а потому что слишком простая по форме.

Смогли бы вы нарисовать фрактал? Вряд ли. Вы можете изобразить запутанную, извилистую линию, которая с первого взгляда будет казаться очень сложной. Но постепенно увеличивая масштаб все бугорки и впадины выпрямятся, и в большом разрешении ваша кривая станет обычной прямой со стандартной размерностью равной одному. И вот, наконец, мы подошли к более научному определению фрактала.

Фрактал (от латинского fractus – ломаный, дробленый) – это множество точек, имеющее дробную размерность. Другими словами, как бы мы не изменяли масштаб, кривая фрактала всегда будет сложнее обычной линии.

Если вам кажется, что мы уже упоролись *вам не кажется* и ушли в какие-то виртуальные математические дебри, то вот вам несколько примеров из жизни. Установлено, что фрактальная размерность берега Байкала примерно равна 1,33, а побережья Великобритании составляет 1,25, что очень близко к значению снежинки Коха. Грубо говоря, британский берег в любом масштабе в 1,25 раз извилистей, чем обычная линия. Другим удивительным примером является поверхность человеческого легкого: несмотря на то что объем воздуха в легких — это стандартный показатель и его просто измерить, то вот площадь их поверхности порой достигает ста квадратных метров (!). Эволюция постепенно усложняла структуру легких, чтобы увеличить скорость газообмена, и наусложняла так, что их поверхность тоже имеет дробную размерность, равную около 2,97. То есть она настолько «мятая», что начинает заполнять трехмерное пространство, да еще так сильно, что является больше трехмерным объектом, чем плоскостью!

Надеюсь, вы еще не устали, потому что в повестке было сказано про какой-то там хаос, а мы все еще к нему ползем.

Ладно, от руки мы фрактал, конечно, не нарисуем, но вот с помощью программы запросто, нужно только знать, какую функцию и как использовать. Вот вам пример такой функции: z^2 + c, здесь с – фиксированное число, а z – комплексная переменная. Для тех, кто пенёк, комплексная переменная – это тот же самый привычный нам со школьных времен икс или игрек, но состоящий из двух частей: реальной и мнимой. Ничего особо страшного, просто еще один вид чисел, как натуральные, целые и так далее. Если применить такую функцию много-много раз *знакомы со словом рекурсия?* и построить ее график, то вы получите изображение фрактала Мандельброта (см. картинку) – наверное, самого знаменитого из всех фракталов *хотя хитрый Мандельброт по слухам стырил эту формулу у своего конкурента*.

Главная особенность фрактала (или же множества) Мандельброта в том, что он во много раз сложнее любого другого и содержит в себе бесконечное число совершенно непохожих друг на друга фракталов. Его граница так невероятно сложна, что имеет размерность равную двум! Вот так, последовательно совершая простые действия, типа возведения в квадрат и прибавления к константе, мы получили один из самых сложных объектов в математике.

Но дело в том, что повторяющиеся функции (их еще зовут итерированными) связаны не только с построением красивых изображений фрактальных фигур, сам принцип «от простого к бесконечно сложному» является основой так называемой теории хаоса. Когда функция порождает самоповторяющийся (или почти повторяющийся) объект – мы называем его фракталом, а когда с каждый циклом мы наоборот получаем совершенно разные «узоры» – мы называем это хаотическим процессом.

Хаос, помимо отсутствия идентичных друг другу «узоров», характеризуется особой чувствительностью к изменению начальных условий. Вы никогда не думали, почему нет прогноза погоды на полгода или на год? Ну, чтобы заранее посмотреть, когда лучше лететь в отпуск. Если синоптики постоянно получают огромное количество данных о текущем состоянии погоды, почему нельзя просто рассчитать прогноз, взяв их за основу? К сожалению, это невозможно, и виной тому – хаос.

Эдвард Лоренц заметил это еще в далеких 1950-х. Работая с математическими моделями для предсказания погоды, он в какой-то момент отвлекся от построения графика данных. Но вместо того, чтобы удалить график и начать все заново, он решил продолжить моделирование с того места, где остановился и сам ввел промежуточные данные в качестве начальных условий. Сначала полученная кривая соответствовала предыдущей, но с каждым новым расчетом все сильнее отклонялась от нее.

Весь фокус заключается в том, что компьютер при вычислении промежуточных значений сохраняет в памяти гораздо больше десятичных знаков, чем показывает экран, и, введя эти значения вручную, Лоренц изменил начальные условия. Казалось бы, что решают тысячные доли? Даже с округленными значениями мы совершали одни и те же четко расписанные действия, кривая должна была хотя бы отдаленно напоминать изначальную. Однако в результате получился совершенно новый график. Этот принцип, открытый Лоренцом, называется (как уже многие догадались) «эффектом бабочки», когда даже легкий взмах крыльев бабочки может вызвать ураган.

А ведь все так красиво начиналось… Но в конце концов очень простые и четкие правила внезапно привели к полной непредсказуемости и беспорядку. Возможно, в том, что фракталы и хаос имеют общие корни, есть какая-то философия? Не знаю. Знаю только, что второй заметки мне все равно не хватило, чтобы рассказать подробнее про применение этих принципов в жизни. Так что спасибо всем, кто это дочитал и сохранил ясность мышления. Любите математику :3

Оставляю ссылку на сайт (таких, кстати, полно), где можно порефлексировать и рассмотреть все извилины этого удивительного объекта.

P.S. У Рэя Брэдбери есть очень интересный короткий рассказ про эффект бабочки – "И грянул гром".

Автор: Александр Грибоедов

Источник

Подпишись, чтобы не пропустить новые интересные посты!

ПОДДЕРЖАТЬ АВТОРА