Хотелось бы расставить все точки над яблоками =)
Внимание! Статья не претендует на научную точность, написана исключительно в развлекательных целях и может содержать фактические и логические ошибки.
Начнём:
Существует два способа умножить два элемента из некоторого множества:
1. При умножении получается элемент из того же множества;
2.При умножении получается элемент из поля (число);
Рассмотрим несколько способов задания умножения на множестве яблок.
I.Группа Яблок.
Это тот случай, когда из двух элементов множества получаем элемент из него же.
Тут умножение должно удовлетворять трём аксиомам:
1.Ассоциативность (не важен порядок скобок), т.е. (ab)c=a(bc);
2.Существует нейтральный элемент (1), т.ч. x 1=1 x=x;
3.Существует обратный элемент (x^(-1)), т.ч. x(x^(-1))=1.
Введём несколько вариантов такого умножения:
1) "Цветное" умножение.
При умножении двух яблок возращается их общий цвет (если такой есть) или самый большой по площади общий или первый по алфавитному порядку общий. Тут мы сталкиваемся с трудностью определения нейтрального и обратного элемента. Я предлагаю следующее, введём "всецветное, равнораскрашенное" яблоко, просто, чтобы удовлетворить аксиоме существования нейтрального элемента (в математике так положено). А в качестве обратного элемента позьмём яблоко любого противоположного цвета.( Например полностью зелёному яблоку пусть соответствует полностью красное, и так далее). Рассмотрим на примерах:
1.Умножим зелёное яблоко с жёлтым пятном на зелёное яблоко с таким, но красным пятном, получим чисто зелёное яблоко.
2.Умножим красное яблоко с маленьким жёлтым пятном на жёлтое яблоко с маленьким красным пятном, получим жёлтое яблоко.
3.И конечно же, если общих цветов нет, то получаем "всецветное, равнораскрашенное" яблоко,
Кому нужно? Допустим, выращивают яблоки "грени смит" они должны быть зелёными. И пишут программу для искусственного интеллекта для отбраковывания. Тогда все яблоки, проходящие по конвееру умножаются на чисто зелёное.
2) "Величинное" умножение.
Яблоки делим на "большие" и "маленькие"
Кратко, если умножаются два яблока одинакового размера то получаем яблоко того же размера , иначе нейтральный элемент. Нейтральный элемент - среднее яблоко =) . Обратный элемент - яблоко противоположного размера.
Примеры использования так же в производственном ключе.
Небольшой коментарий: вместе с естественным сложением яблок, любое из умножений образует кольцо яблок (наверное, я не проверял =))
II.Скалярное умножение на линейном пространстве яблок.
Немного о линейных пространствах.
В линейном пространстве введены две операции - сложение и умножение на число (элемент произвольного поля), относительно которых пространство замкнуто (т.е. при сложении-умножении получается элемент того же пространства)
Рассмотрим множество яблок, введём естественное сложение и умножение на вещественное число, т.е.:
Два яблока + три яблока = пять яблок.
Шесть яблок умножить на 6 = 36 яблок.
С введённым таким образом сложением яблоки образуют линейное пространство.
В линейном пространстве можно ввести скалярное умножение, при скалярном умножении двух элементов пространства получается число (элемент произвольного поля), оно должно удовлетворять следующий аксиомам:
1. xy=yx - симметричность (от перестановки сомножителей произведение не меняется)
2. (ax+by)z=axz+byz , где a,b - числа, x,y,z - элементы множества - линейность (можно раскрывать скобки и выносить число за скобку)
3. x x>0 и x x=0 -> x=0 - неотрицательность и невырожденность.
Введём скалярное произведение на линейном пространстве яблок следующим образом:
Яблоко веса а умножить на яблоко веса b = sqrt(a^2 плюс b^2)/sqrt(2)
Изумлённый читатель может проверить аксиомы. А я расскажу для чего так сложно мы его вводим.
Если мы умножим яблоко весом а само на себя, получим sqrt(a^2 плюс a^2)/sqrt(2) = sqrt(2a^2)/sqrt(2) =a - вес самого яблока. В таком случае вес яблока - это его норма в введённом линейном пространстве яблок.
Небольшой коментарий: Линейное пространство яблок с таким скалярным произведением можно смело назвать гильбертовым! Математики и физики бьются в конвульсиях от экстаза. Скажите знакомому математику-физику - гильбертово пространство - увидите сами.
III. Выводы.
В конце данной статьи подведу итоги, мы узнали, что уножение, вообще говоря, вводится исходя из данной ситуации и таблица умножения лишь малая толика из возможных умножений в математике.
