На счетное доске производилось сложение, вычитание, умножение и деление.

Развитие счетные палочки получили в финикийских глиняных фигурках, которые также были предназначены для наглядного представления количества считаемых предметов. Такими приспособлениями, похоже, использовались торговцы и счетоводы того времени.

Наиболее востребованной оказалась необходимость определять количество предметов, используемых в меновой торговле. Одним из самых простых решений было использование весового эквивалента меняемого предмета, что не требовало точного пересчёта количества его составляющих. Для этих целей использовались простейшие балансировочные весы, которые стали одним из первых устройств для количественного определения массы.

Первые найденные археологами образцы весов относятся к V тысячелетию до н. э., применялись они в Месопотамии. Весы хорошо видны на папирусе XIX династии (около 1250 года до н. э.). Согласно древнеегипетской «Книге мертвых», Анубис, на входе в подземное царство взвешивает сердце всякого умершего на особых весах, где в качестве гири выступает перо правосудия богини Маат. Историки приписывают римлянам изобретение принципиально новой системы измерения веса — при которой передвигается гиря, а точка опоры и положение привеса остаются неизменными. В Помпеях найден один из самых ранних безменов. У римского приспособления, в отличие от современного, было две шкалы и две ручки в виде крюков. В Древней Руси товары взвешивали на равноплечих весах — скалвах. С XIV века на Руси появляется слово «безмен» (мера веса равная 1,022 ).

Принцип эквивалентности широко использовался и в другом простейшем счётном устройстве — абаке, или счётах. Абак - семейство счётных досок, применявшихся для арифметических вычислений приблизительно с V века до н. э. в древних культурах — Древней Греции, Древнем Риме и Древнем Китае и ряде других.Общие принципы инструментов типа абака — разделение линиями на полосы, осуществление счёта с помощью размещённых на полосах камней или других подобных предметов. Камешек для греческого абака назывался псифос; от этого слова было произведено название для счёта — псифофория, «раскладывание камешков». Среди применяющихся в современности вариантов абака — русские счёты и японский соробан.

Реконструкция римского абака.

Сравнительно сложным приспособлением для счёта могли быть чётки, применяемые в практике многих религий. Верующий как на счётах отсчитывал на зёрнах чёток число произнесённых молитв, а при проходе полного круга чёток передвигал на отдельном хвостике особые зёрна-счётчики, означающие число отсчитанных кругов.

Для умножения были Джоном Непером были изобретены палочки Непера.  Прибор состоит из 10 палочек, имевших форму удлинённого прямоугольного параллелепипеда. Каждая из боковых граней палочки делилась поперечными чертами на 9 квадратов, разделённых, в свою очередь, проводимыми в одном и том же направлении диагоналями на пары треугольников. Эти квадраты содержали в себе результаты умножения одного из первых 9 чисел в последовательном порядке от 1 до 9, причем в случае, если результат умножения представлял двузначное число, то его десятки помещались в верхнем треугольнике, а единицы в нижнем. Для представления нулей некоторые из боковых поверхностей палочек оставлялись не занятыми числами.

Прибор Непера мог непосредственно прилагаться только к исполнению действия умножения. Чтобы, например, умножить при его помощи число 8365 на 7, нужно, выбрав соответствующие палочки, приложить их друг к другу таким образом, чтобы в верхних квадратах граней, обращенных к счетчику, находились числа 8, 3, 6, 5; тогда седьмые квадраты этих граней дадут искомые частные произведения множителя 7 на каждую из цифр множимого; затем останется только эти частные произведения сложить:

Успех этого прибора был так значителен, что в честь как самого прибора, так и его изобретателя писались даже хвалебные стихи.

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. Это привело к появлению на протяжении кратчайшего времени (1614—1623 гг.) сразу четырёх новых типов вычислителей: логарифмических таблиц, логарифмических линеек, механических арифмометров (скорее переоткрыты, ибо существовали в античности), палочек Непера. Позже уже в XIX веке на базе логарифмов и логарифмических линеек возникла и их графический аналог - номограммы.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker).В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого.

Логарифмическая линейка, счётная линейка - позволяет выполнять несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб), вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. До появления карманных калькуляторов этот инструмент служил незаменимым расчётным орудием инженера. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Линейки, выпускавшиеся в СССР, в отличие от линейки на фото, почти всегда имели дополнительную сантиметровую шкалу у скошенного края, как и у обычной линейки. Стандартная линейка имела длину 30 см, что было удобно для геометрических работ с форматом А4. При этом логарифмические шкалы имели длину 25 см, на концах обычно наносились их обозначения. Реже встречались линейки малого размера со шкалами длиной 12,5 см и большого размера — со шкалами длиной 50 см.

Идею, близкую к конструкции логарифмической линейки, высказал в начале XVII века английский астроном Эдмунд Гюнтер; он предложил нанести на линейку логарифмическую шкалу и с помощью двух циркулей выполнять операции с логарифмами (сложение и вычитание). В 1620-е годы английский математик Эдмунд Уингейт усовершенствовал «шкалу Гюнтера», введя две дополнительные шкалы. Одновременно (1622 год) свой вариант линейки, мало чем отличающийся от современного, опубликовал в трактате «Круги пропорций» Уильям Отред, который и считается автором первой логарифмической линейки. Сначала линейка Отреда была круговой, но в 1633 году было опубликовано, со ссылкой на Отреда, и описание прямоугольной линейки. Приоритет Отреда долгое время оспаривал Ричард Деламейн, который, вероятно, независимо реализовал ту же идею.

Номограмма - графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Диаграмма Вольперта-Смита

На этом пилот заканчивается. Пишите следует ли продолжать. В следующем посте планирую написать про механические устройства для счета.

Логарифмическая линейка - одно из самых знаковых счётных устройств, прослужившее человечеству верой и правдой более 350 лет.

Из инструкции:

Круговая логарифмическая линейка «КЛ-1» предназначена для выполнения наиболее часто встречающихся в практике математических операций: умножения, деления, комбинированных действий, возведения в квадрат, извлечения квадратного корня, нахождения тригонометрических функций синуса и тангенса, а также соответствующих обратных тригонометрических функций, вычисления площади круга.

Логарифмическая линейка состоит из корпуса с двумя головками, 2-х циферблатов, один из которых вращается при помощи головки с черной точкой и 2-х стрелок, которые вращаются при помощи головки с красной точкой. Против головки с черной точкой над подвижным циферблатом имеется неподвижный указатель.

На подвижном циферблате нанесены 2 шкалы: внутренняя — основная — счетная и наружная — шкала квадратов чисел.

На неподвижном циферблате нанесены 3 шкалы: наружная шкала — счетная, аналоичная внутренней шкале на подвижном циферблате, средняя цшкала «S»-значений углов для отсчета их синусов и внутренняя шкала «T»-значений углов для отсчета их тангенсов.

Выполнение математических операций на линейке «КЛ-1» производится следующим образом:

I. Умножение

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения первого сомножителя по счетной шкале с указателем.

Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с отметкой «1».

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения второго сомножителя по счетной шкале со стрелкой.

Против указателя по счетной шкале отсчитать искомое значение произведения.

II. Деление

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения делимого по счетной шкале с указателем.

Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с делителем по счетной шкале.

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения отметки «1» со стрелкой.

Против указателя по счетной шкале отсчитать искомое значение частного.

III. Комбинированные действия

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения первого сомножителя по счетной шкале с указателем.

Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с делителем по счетной шкале.

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения второго сомножителя по счетной шкале со стрелкой.

Против указателя по счетной шкале отсчитать окончательный результат.

Пример: (2x12)/6=4

IV. Возведение в квадрат

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения числа, возводимого в квадрат, по счетной шкале с указателем.

Против того же указателя по шкале квадратов прочитать искомое значение квадрата этого числа.

V. Извлечение квадратного корня

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения подкоренного числа по шкале квадратов с указателем.

Против того же указателя по внутренеей (счетной) шкале прочитать искомое значение квадратного корня.

VI. Нахождение тригонометрических функций угла

Вращением головки с красной точкой совместить стрелку над неподвижным циферблатом со значением заданного угла по шкале синусов (шкала «S») или по шкале тангенсов (шкала «T»).

Против той же стрелки на том же циферблате по наружной (счетной) шкале прочитать соответствующее значение синуса или тангенса этого угла.

VII. Нахождение обратных тригонометрических функций

Вращением головки с красной точкой совместить стрелку над неподвижным циферблатом по наружной (счетной) шкале с заданным значением тригонометрической функции.

Против той же стрелки по шкале синусов или тангенсов прочитать значение соответстующей обратной тригонометрической функции.

VIII. Вычисление площади круга

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения диаметра круга по счетной шкале с указателем.

Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с отметкой «C».

Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения отметки «1» со стрелкой.

Против указателя по шкале квадратов отсчитать искомое значение площади круга.