Доверенности на ребенка не существует.
По законодательству России (то есть действующему НА ТЕРРИТОРИИ России), если вы едете куда-то со своим ребенком без второго родителя, согласия второго у вас никто не в праве спрашивать. Если ребенок едет с посторонним (не родителем, не опекуном, не попечителем, не конвойным), то нужно согласие и по России, и за рубеж. Если едете на машине, вполне возможно, что при поездке по России, это согласие никто не спросит. На самолете и поезде- проверяют. На автобусы при пересечении границы субъекта (из Москвы в Петербург, например), сейчас тоже документы требуют.
При поездках за границу, опять про прездки одного из родителей с детьми, на таможне тоже не вправе требовать согласия второго родителя. А вот по поводу территории других стран, лучше предварительно погуглить или поинтересоваться в турагентстве. Как правило, в безвизовые страны и страны, где визы штампуют по прибытии - не требуется, а о необходимости наличия согласия второго родителя на выезд в страны с предварительным получением визы, вы узнаете загодя.
И- да- этот документ называется СОГЛАСИЕ, а не доверенность. И да, разница есть, и еще какая. И если вы в нотариальной конторе скажете: "мне нужно согласие на поездку",- вам будет плюсик к карме)
P.s.- даже в тегах есть "доверенность на выезд ребенка" угрпфкт...