Почему нельзя делить на ноль?⁠⁠2

Регулярно вижу споры о том, почему же на разные числа делить можно, а на ноль - нельзя. Очень часто "объяснения" являются ничем иным, как домыслом рассказчика. Поэтому хочу поделиться своей точкой зрения. Я изучал математику на мехмате МГУ, потом работал в Институте Прикладной Математики, имею несколько научных статей в области математики - поэтому считаю себя достаточно компетентным для ответа на этот вопрос.

Вообще ответ очень простой: нельзя делить на ноль, потому что математики между собой так договорились. Но договорились не потому что "нам так хочется", а потому что иначе не получается построить консистентную непротиворечивую теорию. Чтобы понять, как так вышло, надо прояснить несколько моментов.

Во-первых, математика основывается на аксиомах. Аксиома - это некая договорённость между людьми о том, что считается "правильным", истинным, без доказательств. Любая теорема в математике будет опираться на набор аксиом, т.е. набор фактов, которые все договорились считать верными. Важно заметить, что аксиоматика (набор аксиом) может быть разной. И какие-то теоремы можно доказать в одной аксиоматике, но опровергнуть в другой. Обычно в школе говорят про аксиомы планиметрии, но аксиомы есть и в других областях. Например, почему 2 + 3 = 5? Потому что люди так договорились. Не потому что в этом есть какой-то сакральный или физический смысл, а только по той причине, что люди так договорились. Это и называется аксиома - люди договорились что-то считать верным, потому что на основе этих фактов можно построить понятную и удобную систему. Так вот, для привычных всем натуральных чисел тоже есть аксиомы: Аксиомы Пеано. Эти аксиомы рассказывают, что мы умеем считать предметы и (как следствие) складывать натуральные числа.

Но этого мало для удобного пользования числами. Вот у тебя 5 яблок, ты отдал три яблока - сколько осталось? Хочется уметь записывать эту операцию, поэтому придумали вычитание. А заодно и ушли от натуральных чисел к целым. Если говорить языком алгебры, то мы подходим к Абелевым группам. В них мы считаем, что на самом-то деле у нас есть только одна операция: сложение. Но на каждый элемент у нас есть противоположный элемент. И вычитание - это просто прибавление противоположного элемента. Т.е. когда мы пишем 5 - 3, на самом деле это 5 + (-3). Но это всё как-то "на пальцах", а если формально - что такое "противоположный элемент"? Для этого сначала определим, что у нас есть "нейтральный элемент" - такое число, сложение с которым ничего не меняет. Т.е. для привычных нам целых чисел нейтральным элементном будет число 0. И вот если есть число X, то противоположное для него - это такое число, что если к нему прибавить Х, то получится 0. Для привычных нам целых чисел это -Х.

В процессе развития цивилизации становится понятно, что сложения и вычитания не хватает для нужд человечества, люди придумывают умножение и деление. В терминах алгебры это... всё та же Абелева группа (её часто называют мультипликативной группой). И если у нас не будет числа 0, то все те же аксиомы работают прекрасно: у нас есть числа (теперь уже не целые, а рациональные, т.е. дроби), есть какая-то операция (умножение) и есть даже нейтральный элемент. Для умножения нейтральным элементом будет число 1. Потому что при умножении на 1 число не изменяется. И деление - это ничто иное, как умножение на обратный элемент. Т.е. для любого Х мы хотим найти такое число, что вот мы его умножили на Х и получим единицу. Например, для числа 2 обратным будет число 0.5, потому что 2 * 0.5 = 1.

Тут мы и подобрались к ответу на вопрос. Дело в том, что с учётом всех аксиом, которые мы договорились использовать, деление на ноль - это на самом деле умножение на элемент, обратный нулю. Т.е. нам бы надо найти такое число Х, которое можно умножить на 0 и получить 1. Таких чисел у нас нет. Почему? Потому что вещественные числа являются полем и подчиняются Аксиомам вещественных чисел, из которых можно доказать (если кому интересно доказательство - напишу в комментах), что для любого Х всегда Х*0 = 0. Получается, что у нуля просто нет обратного элемента в силу тех аксиом, которыми мы договорились пользоваться. У всех чисел есть, а у нуля - нет. Поэтому и делить на него не получится.

Сразу возникает вопрос: а что будет, если мы возьмём другие аксиомы? Мы же можем придумать специальный элемент, который будет обратным к нулю? Конечно, можем. Вопросами разных "числовых структур" занимается алгебра, и существуют, например, "расширенное множество вещественных чисел", в котором есть ещё и элементы, отвечающие за бесконечность. Но вот беда - с этими элементами аксиомы перестают выполняться и большинство теорем, которые доказаны для привычных чисел - перестают быть верными для такого "расширенного" множества. И привычная нам бытовая логика уже не работает.

TL;DR

Делить на ноль "нельзя", т.к. это не укладывается в общепринятые аксиомы работы с числами, а говоря проще - потому что люди так договорились. Если "передоговориться", т.е. выбрать другой набор аксиом - на ноль будет можно делить, но много привычных теорем перестанут быть корректными, а значит и результаты таких вычислений не получится применять на практике.