Игра с природой, или что такое математическое ожидание? Часть 2⁠⁠

Всем привет! Продождаю свою работу по популяризации науки =)

Первая часть тут, спасибо читателям за полезные комментарии, особенно про понятие "мартингейл". Забавно, что во французском это именно общее название для выигрышных стратегий в азартных играх, а в русском та же статья на Вики уже немного не такое определение даёт, при этом в жизни многие имеют в виду вообще только алгоритм удвоения ставок в рулетке.

Сегодня мы как раз разберём этот алгоритм, но начнём с более житейского применения теории вероятности для споров.

Парадокс дней рождений

Как определить, является ли игра справедливой? Иногда интуиция нас подводит.

Например, я предлагаю всем вам, кто хотел бы рискнуть, поиграть в своем кругу друзей или в офисе в следующую игру: Если среди вас есть хотя бы два человека, у которых день рождения совпадает, то они угостят вас пиццей, иначе же вы купите им пиццу. Это пари справедливо или нет для вас? Давайте проверим.

Давайте посчитаем несколько вероятностей. Выведем формулу, показывающую вероятность того, что в группе из n людей имеется хотя бы одна пара с одинаковыми днями рождения.

Предположим, что существует 366 различных дней рождения и все они равновероятны (на самом деле рожденных 29 февраля в среднем должно быть меньше, чем рожденных 28 февраля, но здесь это пока не важно). Самый простой способ получить объявленный результат — вычислить вероятность того, что у каждого человека день рождения отличается от дня рождения других: противоположное тому, что мы ищем.

Мы можем действовать по индукции: таким образом, у первого человека есть 366 вариантов, у второго — 365, у третьего — 364, у четвертого — 363 и так далее. Здесь мы будем действовать путем подсчета, то есть мы посчитаем количество случаев, когда у n людей разные дни рождения, и разделим его на количество возможных вариантов. Для двух человек вероятность совпадения равна 1/366, следовательно, вероятность несовпадения − 365/366.

Будем добавлять по человеку в компанию и считать вероятность совпадения его дня рождения с уже рассмотренными --- ведь если дней рождения до сих пор не совпало, их можно считать «занятыми» и нас будут интересовать только «свободные». Когда пришёл третий человек, искомая вероятность несовпадения стала 365/366*364/366, так как было 364 «свободных» дня. Рассуждая подобным образом дальше, мы можем вывести формулу, определяющую вероятность несовпадения дней рождения ни для одной из пар в компании из n человек:

p=365/366*364/366∙∙∙∙∙(366-n)/366 .

Дело за малым. Нужно просто вычислять это выражение до тех пор, пока произведение дробей не станет меньше единицы. На компьютере это сделать легче лёгкого. Получается, что уже при n = 23 дробь меньше 1/2, так что, если в вашей группе есть хотя бы 23 человека, то игра уже выгодна для вас.

Можно ли выиграть у казино?

Давайте рассмотрим ещё один пример, на этот раз он связан с другой популярной игрой с природой --- рулеткой.

В интернете бывают все, всем приходили письма с предложением открыть секрет выигрыша в рулетку. Это могут быть не письма, а навязчивая реклама на сайте. Что же там предлагается, если мы предположили, что игра в рулетку несправедливая?

Игра во французскую рулетку заключается в бросании маленького шарика на колесо с 37 ячейками. Они пронумерованы от 0 до 36 (числа, образующие часть барабана), и покрашены красным и черным, за исключением нуля, который имеет зеленый цвет.

Игрок ставит определенную сумму М на одну из ячеек. Если шарик останавливается на ячейке с загаданным игроком числом, ему возмещается его ставка, увеличенная в 36 раз (тогда его выигрыш равен 35M = 36M − M), в противном случае он проигрывает (тогда его выигрыш равен −M = 0 − M).

Есть и другие варианты игры, например ставки на красное. Таким образом, когда шарик останавливается на ячейке с красным номером, ставка удваивается. Тогда вероятность выпадения на красную ячейку равна 18/37, на черную — также 18/37 и на ноль — 1/37.

Математическое ожидание выигрыша при ставке в один евро равно

E=18/37∙1+19/37∙(-1)=-1/37.

Как видим, в среднем мы заработаем отрицательную сумму. Действительно, несправедливая игра. Хорошо, но ведь есть и другие варианты? Можно поставить на конкретное число и вам выплатят выигрыш в 36 раз больший, чем ставка. Подсчитаем математическое ожидание выигрыша?

E=1/37 ∙35+36/37∙(-1)=-1/37.

Казино не обманешь, правила составлены именно таким образом, что математическое ожидание выигрыша для каждого из возможных вариантов игр в рулетку всегда ровно -1/37 от ставки.

Американская рулетка отличается от французской или европейской рулетки своим цилиндром, числа которого распределены по-разному и который имеет дополнительный номер: двойное зеро. То есть, правила там еще строже.

Давайте попробуем обмануть казино, воспользовавшись предлагаемым рецептом выигрыша. Для упрощения дальнейших выкладок положим невозможное: игра в рулетку − справедливая игра и математическое ожидание выигрыша равно нулю.

Итак, я первой ставкой назначаю один рубль и ставлю на красное. Если я выиграла, то выигрыш я откладываю на депозит в банке и больше его никогда не трогаю. Если я проиграла, то я ставлю два рубля опять на красное. При выигрыше выигранный рубль опять отправляется на депозит и я начинаю игру с самого начала. Я верю, что при любой сколь длинной серии обязательно выпадет красное, и тогда при такой стратегии, постоянно удваивая ставки при проигрыше и забирая деньги при выигрыше, я стану непобедимой. Права ли я?

Давайте посмотрим, чему равна вероятность выпадения чёрного цвета 20 раз подряд. Она будет равна (1/2)^20~10^(-6), то есть, примерно одной миллионной. Сколько денег я должна поставить очередной раз в этом случае? 2^20, то есть, примерно миллион рублей. Есть ли у меня такие деньги с собой? А если есть, то что же насчёт выпадения чёрного цвета 21 раз подряд? Это ведь уже примерно два миллиона? А 30 раз подряд? Это маловероятно, но ведь и проигрыш в этом случае получается астрономическим! Вторая проблема состоит в том, что в реальных казино максимальный размер ставок ограничен. Предположим, что больше миллиона рублей ставить нельзя.

Мы только что с ужасом наблюдали, как шарик 19 раз подряд выпал на чёрное, для того, чтобы отыграться (ну не может же он и 20-й раз выпасть на чёрное) мы должны поставить 1048576 рублей, но правила ограничивают нашу ставку до 1000000 рублей. Даже если мне повезёт (а игроки верят, что им обязательно повезёт), то мне выплатят 1000000 рублей, а ведь я поставила уже 1048576 рублей. Мой чистый проигрыш составил 48576 рублей, и мне, чтобы отыграться, нужно успешно сыграть 48576 раз. А теперь вспомним, что вероятность выигрыша отнюдь не 1/2, а 18/37...

Подсчёт показывает, что даже при справедливой игре (что невозможно) за 20 лет постоянной игры вероятность выигрыша составляла 99%, то необходимо иметь не менее 2^18= 262144 рублей карманных денег, выигрывая каждый день по рублю. Не проще ли было положить деньги в банк под самый минимальный процент? Или хотя бы найти работу?

Попытка добиться успеха в такой игре напоминает анекдот:

Посетитель официанту: сколько стоит одна капля коньяка?

Официант: нисколько.

Посетитель: тогда накапайте мне стакан.

Здесь срабатывает закон больших чисел. Ну а мы резюмируем, что в справедливой игре (а тем более в несправедливой) никакая стратегия не может привести к гарантированному выигрышу.