Аксиоматика множества призрачных чисел1
Тут внезапно всплыло, что у множества действительных чисел R, на которое я так опрометчиво опирался при определении призрачных, есть очень недальновидный изъян, в виде того, что там коммутативность умножения кто-то когда-то сгоряча в аксиомы закинул, от чего потом и получилось, что умножение на 0 стало давать 0.
Так что пришлось определить своё множество чисел с преферансом и куртизанками, на которых работает призрачная алгебра. Я назвал его J или ямайкамурровы числа.
Непустое множество J называется множеством ямайкамурровых чисел, если на нём заданы операции сложения (+: J×J→J), умножения (*: J×J→J), отказа (∅: J×→J), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a,b∈J: a+b=b+a.
∀a,b∈J: (a+b)+c=a+(b+c).
∃0∈J ∀a∈J: a+0=a.
∀a∈J ∃(−a)∈J: a+(−a)=0
∃1∈J ∀a∈J: a*1=a
∀a∈J\{0}: 0*a=0
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a
∀a∈J: a∅=0
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a∈J∖{0} ∃(1/a)∈J: a*1/a=1
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b∈J: a⩽b ∨ b⩽a
∀a,b∈J: (a⩽b ∧ b⩽a)⇒a=b
∀a,b,c∈J: (a⩽b ∧ b⩽c)⇒a⩽c
∀a,b,c∈J: (a⩽b⇒a+c⩽b+c)
∀a,b,c∈J, c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
Пусть A и B такие непустые подмножества J, что
∀a∈A,b∈B:a⩽b. Тогда ∃c∈J ∀a∈A,b∈B:a⩽c⩽b.
Замечание. a⩽b⇔b⩾a. a⩽b при a≠b⇔a<b или b>a.
Вообще-то это по большей части копия аксиоматики действительных чисел - вся разница выделена жирным шрифтом. Имеем 2 полностью новые аксиомы и 4 старые, но с изменёнными условиями.
Аксиома 6 определяет умножение 0 на любое не равное 0 число (не наоборот).
Аксиома 8 определяет унарную операцию отказа, на тот случай, если вам надо обнулить имеющуюся информацию.
Можно заметить, что в ямайкамурровых числах не определено ни деление на 0, ни умножение на 0.
B тут в дело врывается призрачная алгебра:
Непустое множество G называется множеством призрачных чисел, если на нём заданы операции сложения (+: G×G→G), умножения (*: G×G→G), отказа (∅: G×→G), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a∈J 0∈J ∃g(0)a∈G: a=g(0)a
∀a∈J 0, -1∈J: a*0=g(-1)a
∀a∈J 0,1∈J ∃(1/0)∈G: a*1/0=g(1)a
∀a,b,c∈J: g(a)g(b)с=g(a+b)c
∀a,b,c∈J: g(a)b+g(a)c=g(a)(b+c)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*g(c)d=g(a+c)(b*d)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*1/g(c)d=g(a-c)(b*1/d)
∀a∈G: a∅=0
Ну, вроде бы справился! Хотя проверять тут ещё и перепроверять.
Не очень уверен насчёт того, верно ли записал аксиому 3. Но суть её такова, что при делении числа на 0 получается призрак первого порядка со значением этого числа.
В общем, кто шарит, вы не стесняйтесь, подтягивайтесь.
Лига математиков
818 постов2.5K подписчика