X*0=g(-1)X; X∈ℝ - умножение действительного числа на 0 даёт в результате призрачное порядка -1 с значимой частью, равной первому множителю.

0*X=0; X∈ℝ; X≠0 - умножение некоммутативно. Это значит, что сумма выражается как произведение следующим образом: X+X=X*2, но не 2*Х. Выражаясь простыми словами: взяв 1 яблоко 0 раз, вы в результате получаете 1 призрак яблока, но взяв 0 яблок 1 раз, вы получаете 0 яблок.

X+0=X; X∈ℝ

X-0=X; X∈ℝ

0-X=-X; X∈ℝ

Общее правило сложения для чисел одного порядка:

g(z)X+g(z)Y=g(z)(X+Y); X, Y∈ℝ; z∈ℤ

Общее правило умножения:

g(z1)X*g(z2)Y=g(z1+z2)(X*Y); X, Y∈ℝ; z1, z2∈ℤ

Общее правило деления:

g(z1)X:g(z2)Y=g(z1-z2)(X:Y); X, Y∈ℝ; z1, z2∈ℤ

Что-то из вышеперечисленного может оказаться избыточным.

Вот, собственно, вся призрачная алгебра и есть на данный момент.

Очень похожа на обычную алгебру, но полнее, и, как по мне, красивше. Да, умножение может доставить хлопот с непривычки, но это плата за возможность деления на 0. Да, вопросов, требующих разрешения, ещё прям основательно есть, но, блин, призрачной алгебре недели отроду нету, в конце концов! Может, помрёт ещё вообще! Ну или окажется математическим "велосипедом", что вот вообще никак не исключено тоже, учитывая, сколько там добра уже понапридумано.

Ну а насчёт её применимости, тут, знаете, ежели так подумать, то чем чёрт не шутит... Как минимум для разминки мозгов и троллинга уже сгодится. А там, мало ли, вдруг окажется, что ей можно какую-нибудь сингулярность посчитать!? Или волновую функцию разволновать!? Всё польза для человечества может быть.

За сим не остаётся ничего иного, как выпустить это чудо на математические нивы. Пускай само доказывает свою жизнеспособность.

От себя хочу выразить огромную благодарность всем, кто остался неравнодушен к этой теме, даже тем, кто призывал сжечь меня на костре. Было весело. До новых встреч!

Во-вторых: вот эти две заменённые аксиомы, отличающие призрачную алгебру от обычной, приводят к тому, что в ней 0 перестаёт выполнять роль стирателя информации, потому что эта самая информация продолжает сохраняться в виде призрачных чисел.

Естественно, что если у нас алгебра на другом наборе аксиом, то в ней кое-что и будет по-другому. Важно только то, чтобы оно было последовательно и логично.

Из приятного: призрачная алгебра работает вроде бы как обычная, пока дело не доходит до операций с нулём.

Например: g0*0=0, но при этом g0*1=1. Вообще g0, похоже, ведёт себя как 1 во всех случаях, когда в выражении нет умножения на 0. Призрачное число со странными свойствами - да. Но эти свойства вполне определимы. У 0 в обычной алгебре свойства тоже не такие, как у других чисел, но это же не делает всю алгебру несостоятельной.

Или вот: 0+0=2*0=2g. Странно, но в рамках призрачной алгебры тоже не противоречит здравому смыслу.

В общем, имеем то, что если нарушение собственных законов у призрачной алгебры где-то и есть, то откровенно сложно понять, где оно есть.

И не будет ничего страшного в том, если вы просто скажете себе: "да и чёрт с ней, с этой твоей призрачной алгеброй".

Теперь вернёмся к проблеме, которая неочевидным образом имеется при 0:0. Потому что не только g0*0=0, но и любое действительное число, умноженное на 0 даст 0. Это нехорошо. И раз уж пошло такое дело, то введём и вторую условность, которая будет гласить, что 0*0=0g, 1*0=1g, 2*0=2g и т. д. То есть буквально определяем ещё и операцию умножения для такого уникального числа как 0. И тут модификатор g просто пишется после числа, чтоб не перепутать. Обратите внимание, что с точки зрения математики мы не делаем никакого преступления до тех пор, пока всё логично и определено, а оно пока что так (но это не точно).

Если присмотреться, то можно очень быстро понять, что 0, g0 и 0g - это по сути одно и то же число на самом деле, отличия только в модификаторе. Ноль как бы является точкой соприкосновения мира призрачных и действительных чисел. Имеем вот что:
X:0=gX, X*0=Xg, gX*0=X, Xg:0=X - это всё проистекает из введённых условностей.

Дальше долго объяснять почему, но: gX*gY=g(X*Y), gX:gY=X:Y, Xg*Yg=(X*Y)g, Xg:Yg=X:Y - Короче, при умножении одинаковые модификаторы остаются, а при делении исчезают. Например: 10:0:(5:0)=g10:g5=2 По сути нули в дробях просто сокращаются.

Дальше: gX*Yg=X*Y, то есть при умножении противоположных призраков, они оба исчезают и результат получается действительный. Например 5:0*5*0=g5*5g=25 И тоже суть в том, что сокращаются нули.

X:Yg=g(X:Y), X:gY=(X:Y)g, gX:Y=g(X*Y), Xg:Y=(X:Y)g - это чтобы было понятно, что при делении призраков и действительных чисел, получаются только призраки. При умножении, кстати, тоже.

В общем, если кратко, то весь фокус в том, что призрачные модификаторы позволяют не терять исходную информацию в результате деления и умножения на 0, что, в свою очередь, даёт возможность восстанавливать её обратно в действительных числах.

А самое смешное в этом всём то, что это никакая не ересь относительно математики, друзья мои. Оно, конечно, бесполезно от слова совсем, но не преступно. И если хоть какой-то настоящий математик это когда-то увидит (что вряд ли), то шутку, уж поверьте, оценит, и, скорее всего, от души посмеётся.

Так что если очень хочется делить на ноль, то делите на здоровье! Только правильно, и с тем пониманием, что ни черта толкового у вас всё равно не выйдет, кроме математических призраков.