Комментарии к статье Л. Окуня⁠⁠

Совсем недавно я выкладывал постом ссылку на прекрасную статью прекрасного физика Л. Б. Окуня, которая поясняет понятие массы и доказывает, что никакой релятивистской массы, то есть массы, зависящей от скорости, de-facto нет (https://mipt.ru/education/chair/physics/S_I/method/Okun.pdf). В тот же день один из пользователей попросил меня пояснить её, так как он мало чего понял. Рискую взять на себя ответственность за пояснение этой статьи. В конце-концов этот пост можно рассматривать как некое отвлечённое рассуждение на тему физики с целью пояснить, хотя такой взгляд будет грубым. В общем, найдётся тот, кому она будет полезна. Комментирование произвожу сообразно структуре самой статьи, пропуская некоторые пункты по причинам, объяснение которым дано в конце поста.

2. Масса в ньютоновской механике

Как хорошо известно, масса в ньютоновой механике обладает рядом важных свойств, и проявляется, так сказать, в нескольких обличиях:

1. Масса является мерой количества вещества, количества материи.

2. Масса составного тела равна сумме масс составляющих его тел.

3. Масса изолированной системы тел сохраняется, не меняется со временем.

4. Масса тела не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, в частности, она одинакова в различных инерциальных системах координат.

5. Масса тела является мерой его инертности (или инерции, или инерционности, как пишут некоторые авторы).

6. Массы тел являются источником их гравитационного притяжения друг к другу.

1. Философская сторона вопроса. Что такое количество? Это, говоря по Гегелю, некая внешняя определённость. Сие лучше всего поясняется на примерах величин, характеризующий количество: объём, длина, масса.

2. Так называемое свойство аддитивности массы. Если мы рассмотрим коробку с двумя внейлежащими предметами любой природы, то ясно, что масса оной будет равна сумме масс двух предметов и коробки без них (то есть материала коробки). Математически это выражается формулой m = m1 + m2 + ... mn = summ(mi) (где i пробегает от единицы до n) [справа индекс].
3. Изолированная система тел -- такая система тел, которая не взаимодействует с другими системами. Грубо говоря, можно перефразировать так: "Если некая система тел находится в абсолютной пустоте, то её масса не изменится". Могут сказать, что ведь в системе может начать совершаться какая-то работа, например, если рассмотрим ракету, то она может включить двигатели за счёт внутреннего источника энергии, а в итоге сама потеряет массу. На самом деле это суждение следствие не совсем верного понимания понятия "система". Если мы всё верно понимаем, то системой после испускания газов будет ракета + испущенные газы, в которой масса, очевидно, не меняется.

4. То есть масса не зависит от непосредственно движения.

5. Это прояснится чуть ниже.

6. В формулах классической теории гравитации для, например, напряжённости гравитационного поля, фигурирует масса, что означает, что она есмь источник гравитационного поля (ибо при её занулении напряжённость сходится к нулю).

Обсудим более подробно два последних свойства массы. Как мера инерции тела, масса m выступает в формуле, связывающей импульс тела p и его скорость v:

p = m*v.

При чём здесь масса как мера инерции тела? Дело в том, что, согласно второму закону Ньютона, который на самом деле формулируется как F = dp*/dt, сила, необходимая, чтобы тело ускорялось с ускорением |a|, прямо пропорциональна массе тела. То есть для разгона до 10 м/с^2 тел массами m = 1 кг и m = 2 кг, потребуются разные силы, а это и означает, что второе тело (с m = 2 кг) разогнать труднее, что оно более "толстое", что оно "плетётся".

В силу однородности пространства и времени импульс и энергия свободного тела сохраняются в инерциальной системе координат.

Однородность пространства = равноправие каждой его точки (при этом предполагается, что мы рассматриваем "чистое" пространство, пространство с позиций физических законов, мол, эта точка для описания реальности так же хороша, как и любая другая, что безразлично, где (со временем работает "когда") проводить опыты".
Однородность времени определяется аналогично.

Свободное тело -- тело, на которое либо не действует никакое иное тело, либо действие иных тел уравновешено (помните, что мера действия -- сила).

В общем, сей момент есмь просто немного приукрашенная законами сохранения формулировка первого закона Ньютона (или принципа Галилея) с пояснением "откуда это".

3. Принцип относительности Галилея

Математически этот принцип выражается в том, что уравнения ньютоновой механики

не меняются при переходе к новым координатам:

r → r' = r - Vt;

t → t' = t,

где V - скорость новой инерциальной системы относительно исходной

= законы механики инвариантны преобразованиям Лоренца. На примере второго закона Ньютона:
F' = dp'/dt = m(dv'/dt) = m(dv/dt) = dp/dt = F (что обеспечивается второй производной)

4. Принцип относительности Эйнштейна

Неизменной, инвариантной остается при этом лишь величина s, называемая

интервалом: s = (ct)^2 - r^2, где r^2 -- скалярный квадрат радиус-вектора = модуль радиус-вектора, t -- промежуток времени между событиями, множитель перевода единиц c (скорость света в вакууме) нужен для того, чтобы мы могли производить вычитание/сложение между c и t, то есть он даёт нам "время в метрах". Продолжая тему времени в метрах, скажу, что

1 секунда = 3*10^8 метров времени.

То есть в интервале берётся разность между промежутком времени между событиями (в метрах) и расстоянием между ними в пространстве.

При переходе из одной ИСО в другие его слагаемые (промежутки времени [ибо относительность одновременности] и расстояния в пространстве меняются, но величина интервала -- нет. Из этого замечательного свойства можно вывести и оценить замедление времени, сокращение длин и проч.

5. Энергия, импульс и масса в теории относительности

Кроме того, как и в ньютоновой механике, энергия и импульс аддитивны...

Можно вспомнить, например, теорему Кёнига.

6. Предельные случаи релятивистских уравнений

У безмассовой частицы нет системы координат, где она покоится, покой ей

«только снится»

Рассуждаем от противного: если есть, то свет может покоиться в некоей системе отсчёта, что противоречит второму постулату СТО. Следовательно, исходное утверждение верно.

В пределе, когда v/c << 1, в выражениях (6.8), (6.9) следует оставить первые члены ряда по β

(= v около нуля = медленные скорости)

При малых скоростях выражения раскладываются в ряд по степеням бета.

откуда видно, что масса тела в ньютоновой механике и масса того же тела в релятивистской механике — это одна и та же величина

Ибо она не заменялась при предельном (v --> 0) переходе.

7. Связь между силой и ускорением в теории относительности

Таким образом, если попытаться определить как «инертную массу» отношение силы к ускорению, то эта величина в теории относительности зависит от взаимного направления силы и скорости, и потому однозначным образом ее определить нельзя

Ибо скалярное произведение зависит от угла (более строго -- косинуса, хотя там будет композиция двух функций) между векторами.

9. Масса  системы частиц

Рассмотрим систему, состоящую из n тел. Масса этой системы определяется формулой...

См. (5.1)

Вот и всё. Остальное, как мне кажется, либо очевидно, либо прекрасно объяснено в самой статье. Для изучения СТО рекомендуется следующая литература:

1. Тейлор-Уилер. "Физика пространства-времени"

2. Угаров. "Специальная теория относительности"