Ashem

Обращаем внимание «не может быть больше цены деления».

Но далее видим:

«…

погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.

Так, если длина шариковой ручки 14 см, а цена деления линейки 1 мм, то погрешность измерения будет равна 0,5 мм, или 0,05 см.

Следовательно, длину ручки можно записать в следующем виде:

l = (14 ± 0,05) см,

где l – длина ручки.

Истинное значение длины ручки находится в интервале от 13,95 см до 14,05 см.

При записи величин, с учетом погрешности, следует пользоваться формулой:

A = (a ± Δa),

где A – измеряемая величина, а – результат измерений, Δa – погрешность измерений.»

Возникает вопрос – почему же в одном случае погрешность не может быть больше цены деления, а в другом случае она равна половине цены деления. Если погрешность равна половине цены деления – зачем писать о том, что она не может быть больше цены деления? Так погрешность равна цене деления или половине цены деления? Будем разбираться.

Вопросами измерений занимается отдельная наука – метрология.

Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Обратимся за помощью к этой науке и заглянем в учебное пособие [1]:

«Предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.

предельная погрешность Δm – погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться».

В общем, написано тоже самое – что погрешность равна половине цены деления. Поверим им на слово и попробуем разобраться на конкретном примере из учебника по физике.

Сразу сделаем оговорку, что существует множество видов погрешностей – по способу выражения, источнику возникновения, характеру проявления и т.д. Мы сейчас имеем в виду только абсолютную погрешность, то есть отклонение измеряемого значения от истинного.

В упражнении 1 (учебник Перышкина), задание 2 (к параграфу 5) требуется определить погрешность измерения градусника. Рисунок приведён ниже:

Видим, что жидкость в градуснике находится выше отметки 3, но ниже отметки 4:

Сначала определим цену деления такого градусника. Возьмём разность двух ближайших чисел и поделим на количество интервалов между ними.

Если взять числа 1 и 2, то между ними мы видим ещё одну небольшую отметку, которая не обозначена цифрой. Значит между цифрами 1 и 2 на самом деле два интервала.

Цена деления будет равна:

Действительно, если приглядеться – жидкость в градуснике находится почти ровно посередине между цифрами 3 и 4. Между этими цифрами есть отметка. Жидкость находится немного выше этой отметки:

Значит температуру воздуха мы можем определить как:

t = (3,5 ± 0,5)°C.

Похоже на правду. Хотя погодите…

Мы получили погрешность ± 0,5°C. Но цена деления равна 0,5°C.
В нашем случае получилось, что погрешность равна цене деления.

А погрешность должна быть равна половине цене деления…

Значит мы неправильно указали значение и могли бы указать температуру с более высокой точностью?

Действительно, если мы видим, что жидкость находится выше отметки 3,5°C и ниже 4°C, тогда мы можем записать значение ещё точнее:

t = (3,75 ± 0,25)°C.

То есть от 3,5 до 4.

Мы не знали точное значение измеряемой величины, поэтому взяли середину интервала, в который значение точно попало и добавили погрешность – плюс/минус половина этого известного интервала.

Да и погрешность получилась равной половине цены деления. Какая красота!

Таким образом, мы видели, что жидкость выше отметки 3,5 и ниже 4, поэтому мы записали то, что записали.

В первом случае мы говорим, что значение температуры лежит в пределах от 3°C до 4°C. Во втором случае: от 3,5°C до 4°C.
И в обоих случаях мы правы. Единственная разница лишь в том, что во втором случае мы записали значение с более высокой точностью. То есть с максимальной точностью, которую может позволить себе этот измерительный прибор.

Таким образом, в первом случае мы выбрали округлять значение до целого деления (до 0,5 в этом примере), а во втором случае – до половины деления (до 0,25).

Находим подтверждение наших выводов в другом пособии [2]:

«Интервал округления h может быть различным. Если отсчет снимается с точностью до целого деления, то интервал округления равен цене деления шкалы прибора (дискрету младшего знака индикатора). Если отсчет округляется до половины деления, интервал округления равен половине цены деления и т.д. Максимальная погрешность округления, очевидно, не превышает половины интервала округления т.е. величин h/2»

Сама концепция отметок, «зазубрин» или «чёрточек» на любой шкале прибора подразумевает, что эти отметки достаточно крупные, чётко обозначены, а расстояния между ними достаточно велики, чтобы быть различимы человеческим глазом. Если эти отметки кривые, плохо видны или настолько мелкие, что начинают сливаться – таким инструментом измерения становится невозможно пользоваться.

Намного проще, когда измерительный прибор представляет собой какую-то аппаратуру, подключённую к большому экрану, на котором цифрами отображаются измеряемые значения. Но, это не наш случай.

Итак, мы договорились, что мы выбрали такой градусник, на котором что-то видно и мы можем увидеть – на каком уровне находится жидкость относительно всех чёрточек на измерительной шкале.
Это значит, что мы можем определить – жидкость находится выше определённой отметки, ниже определённой отметки или точно на уровне определённой отметки.

Вот так, всего 3 варианта. Строго говоря, вариантов даже 2:

1) измеряемая величина находится на уровне отметки

2) измеряемая величина не находится на уровне отметки (а значит выше или ниже неё)

Оба варианта представлены на рисунке:

Для второго случая – если уровень жидкости в градуснике выше отметки 3, но ниже 3,5 (как на рисунке):

t = (3,25 ± 0,25)°C.

Если уровень жидкости в градуснике ниже отметки 3, но выше 2,5:

t = (2,75 ± 0,25)°C.

Итак, мы разобрались с вариантом, когда уровень жидкости находится в промежутке между двумя отметками. Алгоритм действий такой:

1) выбираем середину интервала между чёрточками – записываем это как первое число

2) добавляем плюс/минус половину этого интервала

Таким образом мы словно бы говорим: «Да, я вижу, что искомое значение лежит в интервале между вот этими двумя отметками, но точное численное значение я установить не могу».

Как же быть, если уровень жидкости точно совпадает с чёрточкой или отметкой, на которую мы смотрим. На рисунке это вариант 1.

Вот видим мы точно 3,0°C и всё тут. Почему бы не записать:

t = (3,0 ± 0,1)°C ?

Можно ответить по-простому и сказать, что погрешность не может быть 0,1 потому что величина погрешности для одного и того же измерительного устройства одинакова при любых измерениях. Нам не важно, на каком уровне оказалась жидкость – запись измерения мы должны сделать, указав определённую погрешность. И эта величина должна быть одинаковой. Разумеется, этот вывод справедлив только, если на всей измерительной шкале градусника расстояние между двумя крайними отметками одинаковое и не становится меньше или больше в какой-либо части измерительной шкалы.

Хотя, фактически, если мы видим первый вариант, когда жидкость находится на отметке 3,0°C:

Мы же даже не можем сказать – уровень жидкости по факту выше или ниже 3,0°C! Почему бы не уменьшить погрешность до 0,24 ?
Фактическое значение ведь явно попадает под этот интервал:

t = (3,0 ± 0,24)°C .

Но, если мы ранее определили погрешность как 0,25 – значит мы и должны использовать это же значение погрешности для любых других измерений.

По мнению автора, это лишь формальное правило, которое позволяет работать с одним и тем же значением погрешности, не усложняя расчёты.

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что формальные правила, которые мы устанавливаем при проведении измерений – действительно формальные и не всегда соответствуют фактическим результатам. Но они существенно упрощают нам работу с данными, хорошо работают в остальных областях знаний и позволяют прийти всем нам к каким-то единым стандартам.

Список литературы

[1] Поздышева О. В. Метрология и стандартизация в СПЦС: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (1,49 Мб) / О. В. Поздышева. – Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015

[2] В.Н. Игумнов физические основы микроэлектроники практикум, Йошкар-Ола, 2008