Я тут формулу вывел (математика на коленке)
Опишу в этом посте формулу, которую я на днях вывел. Правда, намеки на нее я заметил еще месяц назад, когда развлекал себя умножением больших чисел в уме. Сразу скажу, что эта формула может быть уже известна, да только я её не встречал - люблю, знаете ли, до всего доходить сам. Так интереснее !
Но если кто-то мне укажет на уже существующий математический опус, я буду только рад.
Ну, поехали.
Занимаясь небольшой математической проблемкой, обратил внимание на такую особенность:
11*12= 10*13+2=
= 9*14+6=
= 8*15+12=
= 7*16+20= и т.д.
Обратите внимание, что начальные множители 11 и 12 словно раздвигаются, разводятся в разные стороны и превращаются сначала в 10 и 13, потом в 9 и 14, потом в 8 и 15, потом в 7 и 16 , и т.д. Правда, для коррекции равенства к новому произведению добавляется корректор в виде слагаемых: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Можно рассмотреть другую цепь:
17*18= 16*19+2=
= 15*20+6=
= 14*21+12=
=13*22+20= и т.д.
Так же заметно, как расходятся в «стороны» множители и присутствуют те же самые корректирующие слагаемые: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Сразу могу сказать, что корректирующие коэффициенты зависят от начальных множителей, а вернее, от «расстояния» между ними, а так же от шага разведения.
Для примера, возьмём произведение двух одинаковых чисел, пусть 22 и 22 и «разведём» их:
22*22 = 21*23 +1 =
= 20*24 + 4 =
= 19*25 + 9 =
= 18*26 + 16 = и т.д.
Видно, что коэффициенты изменились, но, в действительности, они подчиняются единой формуле. Прежде чем озвучить её, я приведу еще несколько примеров:
98*99 = 97*100 + 2
97*98 = 95*100+6
101*102 = 100*103 + 2
102*105 = 100*107 + 10
В последних примерах представлено, как можно быстро перемножать числа, близкие к числам 10^n.
Все эти преобразования подчиняются формуле, которую я назвал формулой разведения (должна же она иметь название). Если разведение осуществляется равномерно, например 44*47 преобразуется в 43*48, затем в 42*49 и т.д, то можно обозначить зависимость:
x*(x+A)=(x-k)*(x+A+k)+k*(A+k)
где A — разность между множителями, она может быть дробной.
k — шаг раздвижения, он может быть дробным.
Начальные множители также могут быть дробными. Т.е.:
51,7*52,1=(51,7-2,9)*(52,1+2,9)+2.9*(0,4+2,9)=48,8*55+9,57=2693,57
Эта же формула работает и при сведении множителей, при этом коэффициент k принимает отрицательное значение. Например:
98*105 = (98-(-2))*(105-2)-2*(7-2) = (98+2)*(105-2)-2*(7-2)=100*103-10=10290
В данном примере A = 7, k = -2
Как я показал, данная формула разведения позволяет легче умножать числа, близкие к 10^n, приводить выражение к необходимому множителю, а так же позволяет сохранять и выделять группы в выражениях. Например, пусть дано выражение:
(a-2)*(b+3)+a*(a+1)
Разведем группу a*(a+1):
(a-2)*(b+3)+a*(a+1)=(a-2)*(b+3)+(a-2)*(a+3) + 6 = (a-2)*(b+a+6) + 6
На этом примере видно, что мы смогли с помощью формулы разведения сохранить группу (a-2).
Я не буду здесь приводить формулу для одностороннего разведения-сведения, хотя и в ней нет ничего сложного.
Если Вы сможете озвучить возможные применения данной формулы, то заранее говорю Вам спасибо !
И уж коли я дошел до этого сам, то поставлю тег Моё.