Возник спор⁠⁠

Можете тогда сказать, как по правилам английского языка правильно было бы сказать:
I have bought a car today.
или
I bought a car today.

Не могу. Оба варианта верны - зависит от того, что вы пытаетесь передать фразой, какой контекст в нее вкладываете. В английском языке любое слово, использованное в предложении, несет двойную смысловую нагрузку - говорит не только о его собственном значении, но и о его месте в предложении, чем меняет его смысл.

В первом случае вы акцентируете внимание на покупке машины, во втором случае вы упоминаете, что купили машину. Т.е. сам факт использования past simple здесь означает, что для вас это событие - всего лишь одно из сделанных за сегодня дел.

Возвращаясь к "спорной фразе":

I bought a car today, and the dealership had me check off - with a pen, on paper - that I'm not a robot.

Здесь

1) акцент идет на капче, понимаете? Ставить present perfect нет никакого смысла, потому что покупка машины - всего лишь фундамент рассказа, одно из сделанных за сегодня дел, а основной смысл предложения идет дальше. По этой причине present perfect здесь использовать в принципе как бы можно, но нежелательно, поскольку это изменит суть фразы;

2) второе время, использованное в предложении - past simple. Мы же знаем, что мы не можем поставить настоящее время перед прошедшим по логике, знаем, что перечисляемые друг за другом (по времени) события идут либо по "нарастающему времени" (had bought -> bought -> have bought -> buy), либо "последовательность совершенных друг за другом событий", что по умолчанию simple tense - past simple, present simple, future simple. По этой причине present perfect здесь использовать попросту нельзя.

Вот вам две причины, собственно.

Надеюсь, вам это поможет.

И эгоистично надеюсь, что я сейчас потратила время не зря...