Специальная теория относительности. Часть 1 Диаграммы Минковского и преобразования Лоренца
В ходе ряда обсуждений в комментариях здесь, я встречал довольно дикие представления и заблуждения о теории относительности, поэтому подумал, что стоит кратко изложить основные её положения, и постараться при этом избежать по возможности формул и заумных терминов, чтобы не отпугнуть пытливые умы от этой темы.
Сразу оговорюсь, что данный пост не ставит перед собой целью изложить, разжевать и объяснить всё (всего не знал даже Эйнштейн). Моей целью по большей части является пробуждение интереса к этой теме.
С определённой точки зрения, можно сказать, что физика это наука о движении. Она изучает движения планет и звёзд, движение электронов и протонов, движение молекул вещества и свойства, которые проявляет материя в результате этого движения. Роль теории относительности в этом всём - изучение того, как данное движение наблюдается с разных точек зрения. Есть, строго говоря, две теории относительности - специальная и общая. Разница лишь в том, что в специальной теории рассматривается лишь ограниченный (специальный) набор таких точек зрения.
Возьмём, например, Луну. Мы находимся на Земле, и нам кажется, что Луна движется по дуге от горизонта до горизонта.
Если же посмотреть со стороны, но не сильно удаляясь от Земли, то мы увидим, как Луна вращается вокруг Земли.
Если мы посмотрим со стороны Солнца, то окажется, что Луна движется по спирали:
Так есть ли какая-нибудь одна, самая правильная точка зрения? Одна из целей специальной теории относительности (СТО) является поиск ответа на данный вопрос.
На самом деле вопросов всего 2:
1) Что МЕНЯЕТСЯ, когда изменяется точка зрения?
2) Что НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ, когда это происходит?
Как уже было показано на примере орбиты Луны, в зависимости от выбора точки зрения, картинка, которую мы можем наблюдать, будет весьма разной, поэтому ответ на первый вопрос кажется очевидным. Что же касается второго вопроса – давайте разбираться.
Если мы будем наблюдать достаточно долго, то заметим, что вне зависимости от выбранной нами точки зрения, относительное расстояние между Землёй и Луной остаётся неизменным. Ага! Значит, это расстояние – фундаментальное свойство системы Земля-Луна, а не артефакт нашей точки зрения, откуда бы мы не проводили наблюдения, расстояние между Землёй и Луной всегда будет одним и тем же!
Этот пример показывает одну из основных задач теории относительности – поиск истины, того, что не меняется при смене точки зрения, поиск универсальных фактов, которые остаются неизменными при любых обстоятельствах.
Определившись с целью, теперь необходимо подобрать подходящий «инструмент» – способ описания движения и изменений, которые происходят при смене точки зрения (или отсчёта, как принято говорить), поэтому начать предлагаю с пространственно-временных диаграмм.
Хотя теория относительности и изучает по большей части движение, давайте начнём с неподвижных объектов
Все наверное в курсе, как применить координатную сетку для нахождения координат собаки по отношению к дому. Мы можем определить смещение по обеим осям от дома и найти координаты (14;17):
Однако, эти координаты – не универсальный факт. В зависимости от того, как мы наложим координатную сетку, данные координаты могут существенно измениться:
Думаю, понятно, что от смены начала координат и ориентации (смены точки отсчёта) мы можем добиться того, чтобы у нашей собачки были абсолютно любые координаты, какие захотим. Таким образом, мы говорим, что ПОЛОЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОТНОСИТЕЛЬНО.
Давайте выпустим вторую собачку и рассмотрим расстояние между ними. Очевидно, что как бы мы не изменяли точку отсчёта и ориентацию системы координат, расстояние между ними никак не изменится. Иными словами РАССТОЯНИЯ АБСОЛЮТНЫ.
Сами того не ведая, мы только что произвели 2 преобразования: трансляцию и поворот:
Однако, если нам будет позволено растягивать или сжимать шкалу, по которой мы производим измерения, то внезапно окажется, что число, выражающее расстояние между объектами так же может измениться:
Так никуда не годится! Нам нужно что-то для сравнения, эталон длины, с которым можно сравнить дистанцию между собачками, чтобы уже точно знать, какое между ними расстояние. Наиболее очевидный способ измерить расстояние – это измерить его в попугаях:
Когда мы сообщаем свои координаты, мы обязательно должны сообщить так же единицу измерения – тот эталон, с чем необходимо сравнивать (градусы, метры, попугаи, световые годы). Однако, какую бы единицу измерения мы не применили, очевидно, что измеренная в этих единицах дистанция будет всегда сохраняться неизменной.
Теперь, когда у нас появилось что-то для сравнения, мы можем сказать следующее ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИНАМИ АБСОЛЮТНО.
Далее, по ходу изложения, я не буду употреблять какие-либо конкретные единицы измерения, так как очевидно, что это не принципиально. То же самое будет касаться единиц времени: это по вашему желанию могут быть секунды, годы или века.
Вернёмся к движению – чтобы показать график движения мы будем применять диаграммы, где по горизонтальной оси откладывается расстояние (обозначено x), а по вертикальной – временные интервалы (обозначено t).
Так, диаграмма покоя относительно начала координат и диаграмма движения будут выглядеть следующим образом:
К этому стоит немного адаптироваться, так как обычно принято отображать шкалу времени по горизонтали. На диаграмме не показано перемещение собачки в двух измерениях, мы наблюдаем только одно пространственное измерение и одно временное.
Собственно, мы только что заново изобрели диаграмму пространства-времени, которую в 1908 году предложил немецкий математик Герман Минковский, причём, наша собачка отображена в двумерном представлении так называемого «пространства Минковского».
Предположим, мы задались целью, проследить, как перемещается наша собачка (пусть будет Алиса) по нашему двору. Каждый момент времени мы отмечаем её положение и строим, таким образом, её мировую линию, где в каждый момент времени у нашей Алисы есть временная координата t и пространственная координата x.
Мы использовали только одно пространственное измерение (x) исключительно для упрощения и наглядности, так как для двух измерений нам бы пришлось использовать уже трёхмерный график. К сожалению, для того, чтобы построить мировую линию в трёхмерном пространстве, нам понадобилось бы самим находиться в 4-м пространственном измерении, что пока невозможно.
Следует просто иметь в виду, что полные координаты объекта в нашем, четырёхмерном пространстве-времени записываются при помощи 4-х координат (t;x;y;z). Думаю, это тоже очевидно любому, кто хоть раз назначал встречу – мы должны договориться о времени (t) и о месте её проведения (x;y;z).
Давайте посмотрим на друга Алисы – Бориса, который убегает от неё со скоростью примерно 1 м/с. Как мы уже выяснили, дистанция не зависит от точки отсчёта, при этом, дистанция между ними в каждый момент времени сохраняется при переходе от точки отсчёта Алисы к точке отсчёта Бориса:
И вот мы подходим, наконец, к одному из фундаментальных принципов теории относительности – отсутствию предпочтительной системы отсчёта.
Действительно, давайте взглянем на эти графики ещё раз. Имея только эту информацию перед глазами, можем ли мы сказать о том, кто из наших питомцев находится в движении, а кто – стоит на месте? При отсутствии иных фактов с уверенностью можно сказать лишь одно – расстояние между ними увеличивается каждый момент времени.
Но если мы и дальше хотим работать с диаграммами пространства-времени, нам, наверное, понадобится какое-либо иное преобразование, отличное от трансляции и поворота, так как ни трансляция, ни поворот не смогут трансформировать левую диаграмму – в правую, хотя нам очевидно, что обе диаграммы показывают одну и ту же ситуацию. Нам нужно преобразование, которое сохраняло бы не только пространственные дистанции между объектами, но и временные интервалы.
Давайте попробуем преобразовать точку зрения Алисы в точку зрения Бориса. На таких малых скоростях, мы можем это сделать интуитивно при помощи трансформации сдвига (взять каждую точку на диаграммы Алисы и сдвинуть влево, чтобы координаты Бориса оставались бы неизменными.
Однако здесь нам следует остановиться и вспомнить второй постулат специальной теории относительности, который гласит:
Получается, вместе со сдвигом нам необходимо ещё сжимать или растягивать мировые линии таким образом, чтобы скорость света была неизменной в любой трансформации.
На помощь нам приходят преобразования имени голландского физика Хендрика Лоренца.
Оранжевой пунктирной линией показана мировая линия луча света, скорость которого сохраняется вне зависимости от выбора точки отсчёта. В формуле мы видим букву v, которая обозначает скорость, а это значит, что скорость движения объекта сильно изменяет саму координатную сетку, в которой "живёт" движущийся объект.
Поскольку скорость света является фундаментальной константой, которая всегда одна и та же, на пространственно-временных диаграммах принято по пространственной оси х откладывать шкалу в масштабе световых единиц длины (световая секунда, минута, год), иными словами – расстояние, которое свет проходит за указанную единицу времени.
Таким образом, мировая линия луча света на диаграммах, построенных по такому принципу, всегда находится под углом 45 градусов к базовым осям.
Визуально преобразование можно представить как сжатие диаграммы вдоль одной мировой световой линии и одновременное растяжение вдоль перпендикулярной. На анимации ниже видно, как происходит трансформация точки зрения Алисы (красная мировая линия) в точку зрения Бориса (зелёная мировая линия) и обратно, если предположить, что скорость, на которой они удаляются друг от друга со скоростью в 50% скорости света:
Диаграммы Минковского позволяют визуализировать и интуитивно разбирать сложные концепции специальной теории относительности и бесценны для её понимания.
А о том, что со всем этим делать дальше, я напишу в следующем посте.