Математики случайно открыли новые виды бесконечностей⁠⁠

На первый взгляд, концепция бесконечности кажется простой: это нечто настолько огромное, что современный человек не способен постичь его полностью, не потеряв при этом рассудок. Бесконечность может проявляться как во Вселенной, так и в Космосе — метафизическом многомерном пространстве, в котором существует бесчисленное множество вселенных.

Подобно тому, как звёзды объединяются в скопления и галактики, вселенные могут образовывать метавселенные (не путать с цифровыми метавселенными — пространствами, где люди могут жить в виртуальной реальности и заниматься повседневными делами), ксеновселенные, гипервселенные и омнивселенные, также известные как омниверс — концептуальный ансамбль всех возможных вселенных и мультивселенных.

Однако, при более глубоком размышлении, понятие бесконечности становится все сложнее. Хотя бесконечность подразумевает непрерывную последовательность чисел, уходящую в вечность, и то, что не познаваемо смертными в полной мере, она также предполагает существование бесконечного множества различных бесконечностей, образующих сложную иерархию.

Математики, космологи, физики и другие учёные уже более века изучают природу бесконечности, и известно, что существует несколько её видов. Например, одна из самых знакомых бесконечностей — это бесконечное множество натуральных чисел: 1, 2, 3 и так далее. Но существует и множество действительных чисел, включающее отрицательные значения и дроби. Углубляясь в эту тему, можно обнаружить бесконечное множество бесконечностей.

Недавно венгерские и испанские описали два новых вида бесконечностей: точные и ультра-точные кардиналы. Эти бесконечности выделяются своими необычными свойствами и не вписываются в привычную линейную иерархию.

Чтобы понять о чем мы пишем давайте начнём с самого начала. Как мы и нынешние ИИ считаем предметы? Математик скажет, что мы просто сопоставляем числа 1, 2, 3 и так далее с объектами.

Здесь ключевое слово — «множество». Когда мы считаем яблоки в корзине, мы используем понятие «мощность множества», которое в математике называется «кардинальным числом».

Точные, (ранее недоступный кардинал) настолько велики, что содержат множество самих себя — наподобие дома, в котором находятся уменьшенные копии этого же дома, или матрёшки. Ультра-точные кардиналы включают дополнительные математические правила, определяющие их создание, подобно тому, как такой дом украшен чертежами самого себя. Эти новые бесконечности демонстрируют неожиданные свойства при сравнении с аксиомой выбора — одним из ключевых принципов теории множеств, утверждающим, что из любых множеств можно составить новое.

Теоретики выделяют три категории бесконечностей: те, которые соответствуют стандартной теории множеств, те, что уходят в область хаотической математики, и промежуточные. Предполагалось, что новые кардиналы занимают место в этом промежуточном регионе, но пока их точное положение определить сложно. Более того, их свойства могут противоречить концепции, известной как наследственное частично упорядоченное множество, которая предполагает, что аксиома выбора вводит порядок даже в самых крупных бесконечностях.

Как мы видим, даже бесконечность не так проста, как кажется. Исследование новых видов бесконечностей продолжает углублять наше понимание этого фундаментального понятия, которое пугает и манит некоторых людей. Именно поэтому мы отчасти стремимся исследовать глубины Вселенной.