Зима близко - как очень мощно поднять температуру дома⁠⁠

Не совсем так, но вот с зарядкой угадал.
Теплоемкость у системы отопления не упадет, она просто будет "хреновой". Котел учитывается в теплоемкости системы отопления.

> Чем выше температура жидкости, тем выше теплоемкость батареи.

Теплоемкость не зависит от температуры агента, это собственная характеристика батареи.

> Соответственно она усиленно начинает сосать тепло из жидкости внутри себя, охлаждая ее.

Это верно. Только это жидкость отдает тепло, а не батарея его сосет, но в целом да.

> А дальше все зависит от котла. Если котел справляется, то он догонит температуру жидкости внутри батареи до заданных

Нет. У обсуждаемого котла нет обратной связи, он не может знать о том, что теплоотдача на участке изменилась. К тому же, когда много потребителей на одной магистрали, он не может догонять температуру на конкретном потребителе где-то в середине, т.к. потребители и проводник в начале участка могут оказаться не готовы принять новые, задранные параметры.

> и теплоемкость не изменится.

Теплоемкость батареи здесь вообще ни при чем, см. определение.

> Это как с батареей на телефоне. Емкость ее одинакова если ее начать усиленно разряжать, то заряд начнет падать (емкость останется прежней), если подключить бп, то он может при достаточной мощности начать восполнять заряд.

Электричество - не лучшая аналогия, да и к тому же все равно условия неадекватные: потребитель-то у тебя один, к тому же с контроллером заряда. Попробуй подключить последовательно десяток мабил на обычных батарейках и посмотрим, насколько "хорошим" должен оказаться ПРОВОД, питающий всю эту систему, чтобы в он смог выдержать внезапное утроение запросов одного из потребителей.  А если мощности БП вдруг не хватит, то что, его плохо рассчитали? Или кто-то просто начал неадекватно эксплуатировать систему?

> А максимальная тпелоемкость батареи в домашних условиях обусловлена температурой жидкости внутри нее.

Ну хватит уже.