Элементы абстрактной алгебры. Часть I. Введение. Отображения (общие понятия).⁠⁠

Здравствуй, дорогой читатель!

В первую очередь этот цикл рассказов обращён ко всем тем, кто не варится в котле математики, но интересуется последним. Это школьники, прозревшие студенты гуманитарных специальностей и просто все любители абстрактных вещей.

Я запланировал познакомить вас с таким разделом современным (это значит, что долой школьную неинтересную пыль) разделом математики, как абстрактная алгебра, или общая алгебра.  Сказать, что от вас не требуется ничего предварительного для чтения данного цикла (вообще говоря, должного быть огромным!) - значит соврать. Но требуется не много, единственно три вещи:

• Упорство;

• Готовность трудиться;

• Какие-никакие азы школьной математики, которые знает каждый хорошист.

Вот и всё. :^)

Начнём, пожалуй.

Введение

Мы начинаем наши шаги в сторону современной математики с небольшого разговора. Во-первых, я хочу вам сказать: если школьная математика действительно скучна (автор абсолютно разделяет это мнение), то современная такой не является. Поскольку я действительно знаю, как может возникать тошнота от школьной математики, я выдвину такой стимул: после цикла основ теории групп мы с вами сможем прекрасно осмыслить игру в кубик Рубика. Не заинтересовал? Тогда я вам гарантирую осмысление и многих других игр. Вообще, группы - это язык, на котором говорит симметрия. В кубике Рубика можно крутить кубики, в результате чего образуются перестановки. Они, в свою очередь, вместе с произведением перестановок, могут образовывать группы перестановок. Там возникают симме... Впрочем, достаточно. Я не буду сразу вскрывать карты. Я хочу вас попросить лишь проявить терпение. Мы с вами изучим группы, кольца (в т.ч. поля), решётки, мат. логику, линейные пространства, комбинаторику. На элементарном уровне, уровне первого знакомства. Но я постараюсь обеспечить интерес.

Во-вторых, я буду давать по ходу изложения упражнения. Советую их все выполнять. Если возникнут проблемы, то пишите в комментарии.

Вот. Первой на очереди будет теория групп. Поехали, кубик Рубика ждёт!

Отображения (общие понятия)

Всегда нужно с чего-то начинать, с какого-то общего языка для конкретно данной области. Например, мат. анализ начинают с действительных чисел и функций действительного переменного, топологию с теории множеств. Нам же нужны множества и отображения. Первое мы опустим, потому что мы лишь знакомимся. Оно будет поясняться по ходу дела, косвенно. А вот отображения мы с вами просто обязаны рассмотреть в силу причин, которые будут известны чуть позже. Итак...

Помните те функции, которые проходят на уроке алгебры? Давайте посмотрим на них внимательнее.

Видите функцию? Она, разумеется, очень хорошо вам знакома. Поскольку я не указал область её определения, последняя является естественной - множество действительных чисел R. Область же значений - это все положительные действительные числа и 0. Но что это вообще означает? Слева у нас стоит y - некоторое число. Справа степень x - тоже некоторого числа. Чувствуете? Это алгоритм! Он говорит нам "Чтобы получить некоторое действительное число y из мешка, в котором валяются все положительные действительные числа и ноль [большой же мешок получится!], возьми некоторое число из мешка со всеми действительными числами и возведи его в квадрат". Можете представлять это так:

У нас есть мешок всех действительных чисел (область определения функции), некая машина, которая имеет вход и выход, и мешок, в который помещаются преобразованные в машине элементы. Мы достаём из мешка некоторое число x, несём его на машину, которая исполняет заданный функцией алгоритм ("возведи в квадрат"), а после выдаёт уже преобразованный элемент y и скидывает его в мешок. Вот так и работает функция.

Если мы каким-то боком перетащим всё содержимое из мешка R в машину, то получим мешок действительных положительных цифр и нуля.

Давайте перетащим первую цифру. Что берём? Давайте, пожалуй, 2.

Итак, берём двойку и несём её на вход машины. Она, эта f(), принимает в себя 2, получая f(2). Далее она выполняет алгоритм и выдаёт нам 4, складывая его в мешок. Видите, как всё просто?

Упражнение 1. Попрактикуйтесь с цифрами 5, 70, 1000.

Однако мы можем задать с такую вещь:

С первого взгляда кажется, что это та же функция. Нисколько. Это уже другая функция, хотя они и похожи. Для функции существенно задание области определения! В первом примере у нас функция была задана на всех действительных числах (мешок был R), а теперь её область определения "уже" - всего-навсего мешок R с индексом плюс (положительные действительные числа). Таким образом...

Определение. Две функции f(x) и g(x) равны тогда и только тогда, когда совпадают их области определения и каждый элемент из области определения они преобразуют одинаково.

Пусть наши функции заданы на одной и той же области определения, пусть они преобразуют все элементы из неё одинаково, кроме одного. Но если этот один "таракан" существует, то он рушит всё равенство! Аналогично с областями определения.

Упражнение 2. Какие из следующих функций равны:

Слово "функция" - синоним слову "отображение".

Определение. Отображение - это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

То есть отображение - это вся та конструкция с мешками и машиной. Машина - исполнитель алгоритма, правила, реализатор соответствия между мешками, посредник.

Обратите внимание на выделенное слово. Мы должны задавать первый мешок так, чтобы каждый элемент можно было бы запихать в машину. Это не всегда возможно.

Пусть машина имеет правило 1/x. Если наш мешок суть R, то там валяется 0. Можем ли мы затолкать в машину ноль? Нет, она будет упорно его выплёвывать, может, даже сломается, ведь ей, бедной, придётся выдавать на выходе 1/0. Ох, жалко машину. Пожалейте машину и выбросьте из мешка те элементы, которые не заталкиваются в машину.

Область определения - это и есть такой стерильный мешок.

Познакомимся с несколько новой символикой.

Вот у нас функция f(x). Вытащим оттуда букву f. Она символизирует правило, диктующее соответствие. Тогда вот так

и обозначается отображение множества A во множество B по правилу f.

Если брать нашего робота, то эта запись показывает преобразования мешков. Мы вместо отдельных элементов первого мешка заталкиваем в машину весь мешок. На выходе получаем новый мешок, содержащий элементы, преобразованные по правилу f. В первом примере у нас мешок R преобразуется в (R+) + 0.

Можно, однако, акцентировать внимание на отдельных элементах множества A. В первом примере мы преобразовывали 2 - конкретный элемент R. В таком случае мы пишем вот так:

Обязательно нужно вверху указывать, какие множества в какие отображаются! Иначе не понятно, что можно брать, а что нет (отображение же связано с областью определения). Вторая запись - это то, что мы видим, когда заглядываем в робота. Некоторый элемент из A с абстрактным обозначением x превращается (стрелочка) в свой квадрат.

Если брать x = 2, то получится:

f: 2 --> 4.

Всё просто.

В общем виде:

Если установлено такое соответствие f между множествами A и B, то говорят, что элемент y = f(x) является образом по отношению к элементу x, а последний -- прообразом по отношению к y = f(x).

Терминология вполне естественна, не правда ли?

Упражнение 3. Исследуйте какие-нибудь известные вам функции в новых терминах и символах.

На сегодня всё. Продолжим чуть позже. На следующем "уроке" мы посмотрим на разные виды отображений и найдём связь с комбинаторикой. Всего доброго.