Вопрос о метрике и неравенстве треугольника.⁠⁠

Сначала небольшая кулстори, пацаны!

Тусовался я как-то в одной группе в ВК, где, знаете, прорывные технологии, передовая, но не признанная косным сообществом наука, Эйнштейн - жидомасон, ученые все нам врут, а сами ничего не понимают ну и так далее. Думаю, вы понели. Ну, группа не очень фимозная, поэтому меня там еще не забанили, хотя я там постоянно топлю за всякие квантовые механики, теории относительности и общую алгебру. И зашла речь о пространство теории относительности и вообще о гравитации. Ну, местный контингент, конечно, начал говорить, что, дескать, кривые пространства - это бред сумасшедшего, вот же, посмотрите, кругом все прямое. А я решил, что неплохо бы показать этим товарищам, что кривизну не так-то легко заметить, а с чего начать? А надо как-то определить кривизну, чтобы получить какие-то объективные критерии.

И я подумал, а вот интересно, какой нужен минимальный набор аксиом на произвольном множестве, чтобы на этом множестве можно было определить кривизну, ну такую, чтобы была похожа на кривизну в ОТО? Желательно, не используя координат и понятия размерности, ну чтобы меньше можно было к чему докопаться, и чтобы было больше похоже на афинное, а не векторное пространство.

Первым делом, кроме самого множества, я решил, что перво-наперво надо ввести понятие "дистанции" между элементами. Это почти та же самая всем известная метрика на метрическом пространстве с одним исключением - я не использовал неравенство треугольника, вместо него просто постулировал неотрицательность дистанции. Вообще, когда я над этим над всем думал, я как-то и забыл про то, что есть метрические пространства, точнее про то, какие у них аксиомы. Ну я там еще аксиоматически навводил всякие ограничение на дистанцию, чтобы непрерывность получалась, к примеру, чтобы линии можно было определить. И вроде все получалось, пока я не вспомнил про метрические пространства и не полез смотреть у них аксиомы. А там - неравенство треугольника. А я в своих рассуждениях его не использовал, и вроде бы все было не плохо.

И теперь вот у меня ко всем к вам вопрос - а зачем нужно неравенство треугольника в определении метрического пространства? Какую роль оно играет? Это довольно сложное условие, нельзя ли его заменить на что-то более простое, чтобы оно выводилось как теорема?

Вот, для примера, возьмем евклидово пространство, но вместо обычной, стандартной метрики возьмем на нем квадрат от стандартной метрики. Это не будет метрика в смысле нормального определения метрики, так как в треугольнике со сторонами 3, 3, 5, например, неравенство треугольника нарушается. Но чем такая "типа метрика" хуже стандартной метрики, если существует даже дискретная метрика, где расстояние между всеми несовпадающими точками равно 1 и это ок?