Так всё-таки: кОмплексные или комплЕксные?
Всем здрасте! =Ъ
Наконец у меня дошли руки запилить опять что-то новенькое, а заодно и протестировать новый интерфейс создания поста. В комментариях, кстати, отпишитесь, как оно выглядит применительно к моей тематике. Продолжать ли делать так или вернуться к стилю старопостов?
В общем, сегодня я хочу рассказать о том, о чём у меня спрашивали практически в каждом из моих предыдущих постов. А именно...
На самом деле этот пост будет, скорее, проходным, и в конце я напишу, почему (интрига!), так что не серчайте) Но раз уж просили, рассказать надо...
Короче. Что это, откуда пошло и нафига оно надо? Попытаемся по ходу дела ответить на все эти вопросы разом.
Все же знают, что такое координаты на плоскости? Обычные, декартовы? Вот и славно. Есть у нас пара чисел, которыми задаётся конкретная точка на плоскости. Проблема в том, что числа 2, а точка одна. Всё-таки, хотелось бы, чтобы одна точка характеризовалась одним объектом. Ну, не мудрствуя лукаво, как это обычно бывает, математики не придумали ничего умнее, чем просто сказать: "Пофиг, давайте вот у нас пара чисел и будет одним объектом", - на том и порешили. Но раз у нас теперь есть какие-то пары чисел вида (a, b), то хорошо бы для этих новых объектов придумать не только закон сложения, но и умножения....
Придумали. Выглядит так:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) - сложили 2 объекта, получили новый, всё норм.
(a, b) * (c, d) = (a*c - b*d, a*d + b*c) - умножили одно число на другое, полу... Постойте-ка... ЧТО, МАТЬ ВАШУ, ТУТ ПРОИСХОДИТ?!
... спросит неподготовленный читатель. Но ничего, если сложение координат точек выглядит вполне естественно, то сакральный смысл такого странного определения для умножения двух комплексных чисел скоро станет понятен. Кстати, да, теперь наши координаты точки мы с вами будем называть комплексным числом.
Давайте на всякий случай попробуем умножить 2 комплексных числа. Нормальных. Например...
(1, 2) * (3, 4) = (1*3 - 2*4, 1*4 + 2*3) = (-5, 10) - вполне себе норм получилось, чё.
(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0) - а вот это вот нам ещё ой как пригодится!
(чёт с этим новым функционалом слишком дофига текста выходит, вот вам картинка для привлечения внимания)
(если честно, я хз, что это, но похоже на какую-то полную аналитическую функцию...)
Ну ладно, это всё формальности. А где же настоящие комплексные числа? Где, мать его, пресловутый i, а?! Ничё, ща всё будет. Просто, чтобы не писать постоянно эти скобки, вместо (x, y) будем с вами писать x + iy. Буковка i - это просто символ, позволяющий распознать одну и другую координату. А вместо x и y уже стоят какие-то числа. Такая запись позволяет складывать и умножать комплексные числа, как обычные скобки:
(2 + 3i) + (4 - i) = 6 + 2i
(1 + 2i) * (1 - 0i) = 1 + 2i
(0 + i) * (0 + i) = (0, 1)*(0, 1) = (-1, 0) = -1 - постойте-ка...
Так что ж это получается, что i*i = -1? Поздравляю, вы только что доказали основную "фичу" комплексных чисел.
Только не говорите, пожалуйста, никогда, что i определяется как корень из -1. Определение i было уже дано выше. А квадратных корней из -1, кстати, вообще на самом деле 2 (дальше объясню, почему). Так что "i - это корень из минус единицы" - это говно какое-то, а не определение. В общем, перемножайте теперь скобку на скобку - и будет вам счастье ;)
Тут, кстати, и раскрывается тайный смысл той самой странной операции умножения. Если учесть, что квадрат i равен минус единице, то комплексные числа можно перемножать, аки скобки:
(1 + 2i) * (3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i*i = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i, что и должно было выйти)
Ну да ладно, начинали мы с того, что комплексное число - это координаты точки на плоскости. Есть ещё одна интересная форма записи комплексного числа, которая нам поможет. Для начала давайте посмотрим на эту картинку.
Тут мы с вами видим, что точку на плоскости можно задать не только обычными координатами (x, y), но и проведя из начала координат в эту точку отрезок, указав его длину и угол поворота от горизонтальной оси. Тогда у нас с вами получится, что x = r*cos(φ), y = r*sin(φ), или...
Это вторая форма записи комплексного числа. Её ещё тригонометрической называют. Я ж вам говорил, что корней из числа бывает несколько? Вот щас и будем понимать, почему. Но для начала нужно научиться число в степень возводить, а в данной форме это всё делается очень легко:
(доказывать мне лень, кто знаком с тригонометрией, и сам справится)
Т.е. при возведении числа, например, в квадрат, его расстояние до начала координат тоже соответствующим образом вырастит, а угол от горизонтальной оси увеличится в 2 раза. Вот примерно вот так вот, например, скрутит всю плоскость, если к ней всей применить функцию z^2, т.е. возвести в квадрат каждое число.
Давайте пока дальше уже будем смотреть только на числа, расстояние от которых до нуля равно единице (ещё говорят, что их модуль (то самое r в формуле выше) равен единице), т.е. которые лежат на единичной окружности. Просто в таком случае при возведении в степень это расстояние меняться не будет, что удобно. Окей, а что тогда такое корень n-ной степени? Всё до боли банально. Например, квадратный корень из числа - это то число, которое в квадрате даёт заданное. Корень любой n-ной степени - это то число, которое в степени n даёт заданное.
Сразу нетрудно сообразить, что корней из одного числа существует несколько. Например, какие числа в квадрате дают 1? Правильно, 1 и -1 - уже 2 корня. А какие числа в квадрате дают -1? i и -i. Поэтому как раз и нехорошо говорить, что i определяется как корень из -1. Потому что под это определение сразу же подходит ещё и число -i.
Интересны ещё такие штуки, как корни степени n из единицы. Как вы уже, наверное, могли догадаться, корней n-ной степени из числа существует ровно n штук. А в случае с единицей они все лежат на единичной окружности. Это такие точки, которые при повороте n раз на угол, который они образуют с горизонтальной осью, (его ещё аргументом называют, то самое φ) должны переходить в единицу. Вот здесь, например, изображены все корни 5-й степени.
Прикольно, да? Ради интереса можете выбрать любую точку, отложить угол и повернуть её n раз. Если всё сделали правильно, точка как раз должна оказаться в единице =)
Ну и, в принципе, оно всегда так: эти корни будут образовывать правильный n-угольник. В случае с квадратными корнями это будет отрезок {1, -1}, в случае с корнями четвёртой степени это будет квадрат из чисел {1, -1, i, -i} - проверьте сами, что все они в четвёртой степени равны единице =)
Ну что ж, это, наверное, основное, что хотел бы знать о комплексных числах неподготовленный человек) Так-то, конечно, можно теперь рассматривать функции, которые получают на вход комплексное число и выдают комплексное число, учиться их дифференцировать, интегрировать, развивать комплексный анализ, но это уже гораздо более глубокая наука. Зачем всё это нужно? Да комплексные числа сами по себе возникают много где. Иногда просто бывает удобно 2 координаты на плоскости заменить комплексным числом. Такой подход, например, часто используется в механике. Скажем, при исследовании обтекания воздухом профиля крыла самолёта (гуглить про функцию Жуковского). Да или просто там, где внезапно возникают корни из отрицательных чисел (например, при решении обыкновенных диффуров), что нужно учитывать.
В общем, если у вас возникнут какие-то вопросы, смело задавайте в комментариях - попытаюсь ответить по возможности =Ъ
А теперь немного о том, почему этот пост на самом деле "проходной" ;)
Это, наверное, первый пост, в котором я не буду просить вас писать в комментариях темы, о которых вам было бы интересно узнать. Дело в том, что у меня в голове такая тема наконец созрела) Наверное, скоро будет целая серия длиннопостов, посвящённых измерениям. Нет, не геодезическим измерениям, а пространствам разных размерностей.
Смысл? Дело в том, что в последнее время у меня в голове частенько возникает идея многомерного времени, и вот о том, каким был бы наш мир, если бы время имело несколько размерностей, я и хочу порассуждать) Но перед этим, естественно, нужно будет провести некоторый "ликбез" о размерностях вообще, так что "кульминация" будет точно не в ближайшем посте.
В общем, кто ещё не подписался, подписывайтесь и ждите, когда мне наконец станет не лень запилить следующий пост XD
И да, как обычно, в комментариях ссылки на мои предыдущие посты - велком! ;)