Несколько интересных задач⁠⁠

1) Настя нарисовала прямоугольный параллелепипед, все стороны которого выражаются целыми числами, а объем численно равен его площади поверхности.

Пришедшая к Насте в гости Даша заметила, что высота этого параллелепипеда равна произведению длины на ширину.

Чему могут быть равны измерения этого параллелепипеда?

Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

2) x,y,z

суть три натуральных числа. Известно, что число x(y+z)

оканчивается на 4, число y+xz

оканчивается на 5, а число z(x+y)

оканчивается на 6.

Какое наименьшее значение может принимать сумма x+y+z

?

3) Существуют ли 5 попарно различных дробей (не обязательно правильных!) таких, что произведение всех пяти дробей равно целому числу, но если выбрать некоторые из них (но не все), то их произведение не будет целым?

4) Для некоторых натуральных n существует точная n-ная степень, у которой сумма цифр равна n. Например, для n=1 сумма цифр числа 10^1 равна 1. Для n=5 сумма цифр числа 2^5 равна 5. А для n=70 сумма цифр числа 2^70 равна 70 (а само число равно 1180591620717411303424).

Как найти хотя бы ещё одно такое n, помимо 1, 5 и 70?

5) Настя написала на доске 10 цифр, не обязательно различных. Даша поставила в двух местах между этими цифрами два знака умножения. А Таня написала результат получившегося примера. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться написанное Таней число?