Наука. Величайшие теории. Гильберт⁠⁠

Всем привет)

Сегодня рассмотрим универсального ученого, который оставил свой вклад во многих областях. Д.Гильберт хотел сделать математику "идеальной", лишенной противоречий, но ему это не удалось.

В общем: аксиоматический метод, гильбертово пространство и 23 знаменитых проблемы.

Давид был творческой личностью, его работы есть в области алгебры, геометрии, физики, логики и математики. Парадоксы логики и теории множеств не давали ему покоя, и он решил охватить эту область аксиомами, не содержащими никаких противоречий. Другими словами -  приключение в поиске точности.

Чтобы выяснить природу и цель математики, существовало три подхода:

логицизм - все математические принципы могут  быть сведены к логическим законам, истины открываются сами, точностью ведает царствие небесное)

интуиционизм - отрицание методов классической математики, которые привели ее к парадоксам, истины изобретаются, математическая точность находится в "разуме";

формализм - стремление аксиоматизировать математику, математическая точность находится на "бумаге".

Лидером последних был Д.Гильберт. Его ключевая идея состояла в представлении системы, не касаясь темы бесконечности. В итоге: разработкам математика-универсала помешал логик К.Гедель, который объявил, что методов Гильберта недостаточно для определения подлинности, истинности, доказанности и полноты определенных гипотез и теорем.

Своего первого большого успеха Давид добился в теории инвариантов. Это когда величины не изменяются при преобразовании одного многочлена в другой в соответствии с определенными правилами. Гильберт доказал основную теорему этой теории, представив любой инвариант системы в виде сочетания небольшого количества инвариантов, образующих базис.

Сама форма доказательства определила путь развития его исследовательской карьеры. Его подход не искал решения проблемы, а доказывал, что проблема не может иметь решения. Абстрактная алгебра с его экзистенциальным методом, путем доведения доказательства до абсурда. Это один из математических инструментов, который так любил Евклид. Разница между конструктивным доказательством и тем, которое таковым не является (экзистенциальным) это как разница математики и теологии, два разных подхода. Для второго слово "существовать" имело лишь одно значение: быть лишенным противоречия. Давида еще не раз упрекнут в тяготении к теологии, но он был скорее мистиком.

Вся природа - твердые тела, жидкости и газы, звук, тепло и свет, электричество - модель, выраженная уравнениями в частных производных. В XVIII веке изучение физического явления  сводилось к нахождению дифференциального уравнения, которое им управляет.

Ньютон - движение систем точек и твердых упругих тел.

Эйлер - движение сплошных сред (воды, воздуха и др.газов), не обладающих вязкостью.

Лагранж - музыка, распространение звуковых волн.

Фурье - распространение потоков тепла.

Навье-Стокс - движение вязких газов.

Максвелл - электромагнетизм.

Дифференциальные уравнения - экстремальные условия определенных функционалов.

Гильберт предложил для решения подборку проблем. Блок из 23 задач открывает проблема континуум-гипотезы Кантора, гипотеза Римана и другие. Ученый сосредоточился на вариационном исчислении и интегральных уравнениях, все это оформилось в функциональный  анализ.

Одним из самых важных вкладов ученого было решение уравнения потенциала (непрерывности), которое вместе с уравнением волн и уравнением тепла составляют парадигму математической физики.

Вариационное исчисление это подбор вариаций, вариантов всех подходящих функций для решения проблемы и вычисление функционала(интеграла), значения экстремума (max или min) в самой подходящей функции.

Д.Гильберт занимался и тензорными исчислениями. Ему удалось доказать: евклидова геометрия является настоящей геометрией Вселенной только тогда, когда тензор энергия-импульс равен нулю, то есть при отсутствии материи. Считалось, что Давид вывел уравнения теории относительности гравитационного поля раньше Эйнштейна, но существовала разница по физической интерпретации ии это позволило замять размолвку между учеными.

Познакомившись с интегралом (процессом вычисления площади, ограниченной кривой), Гильберт стал использовать этот инструмент для своего нового функционального анализа, который привел к понятию гильбертова пространства, основанию всей квантовой механики. Это пространство бесконечной размерности, построенное в области интегральных уравнений, его образуют функции, являющиеся их решением.

Математик и его сторонники ввели в физику понятие матричной квантовой механики. Она была противовесом волновой механики Шредингера, они обе прогнозировали одни и те же явления, но использовали разный подход.

Дирак разработал теорию преобразований, чтобы раз и навсегда объединить механизмы квантовых механик. Он был вынужден прибегнуть к вымышленной математической сущности - дельта-функции, которая на самом деле функцией не была и поставила в тупик Гильберта и его аксиоматический метод.

Мат.пространство матричной механики дискретное и алгебраическое.

Мат. пространство, на котором построена волновая механика - непрерывное и аналитическое.

Их унификация возможна только при некотором насилии над формализмом и математикой. Мат. структура квантовой физики сопряжена с гильбертовым пространством, описание ее состояния делается через его вектор.

С развитием мат.логики и теории множеств удалось приблизиться к понятию бесконечность.

Логика научила математиков тому, что существует два основных понятия: одно - семантического характера, понятие истины, другое - синтаксического, понятие доказательства. Сложность заключалась в определении их действия: является ли все доказуемое истинным (правильность) и все истинное - доказуемым (полнота).

Гильберт хотел доказать непротиворечивость математики и ее полноту. Этому помешал К.Гедель, как я уже написала раньше. Логик доложил общественности о примерах, которые истинны, но не доказуемы, опубликовал свои теоремы о неполноте.

Давидом была выдвинута проблема разрешения: существует ли механическая процедура, которая при заданных данных давала бы ответ - является ли она разрешимой в математике?

После теорем Геделя стало ясно, что ответ "нет", так как  математика является неполной. Тьюринг доказал,что не существует алгоритма, способного получить на входе логическое или математическое высказывание и выдать на выходе: "теорема" или "не теорема".

В математике истинное не совпадает с доказуемым. Эта дисциплина несет в себе черты неуверенности, случайности и необоснованности. Постоянный прогресс.

В современности влияние Гильберта прочитывается в науке, изучающей абстрактные структуры.