Математика лотерей, часть 5. Что такое математическое ожидание выигрыша⁠⁠

Столкнулся тут в своих постах с некоторыми пикабушниками, которые совершенно не понимая базовых понятий Теории вероятностей, вступают в ожесточенную дискуссию на предмет "как сильно автор не прав". Захотелось написать хотя бы что такое "математическое ожидание выигрыша", т.к. очень многие почему-то путают это понятие с "вероятностью выигрыша".

Если по простому - мат. ожидание выигрыша это понятие, которое говорит сколько в среднем мы будем зарабатывать или тратить за каждое участие в лотерее, если условия будут неизменными и участвовать мы будем много-много раз (допустим, 100 в степени 1000 раз). Мат ожидание выигрыша может быть положительным или отрицательным. Это понятие опосредованно связано с вероятностью выигрыша. Но, назвать их идентичными все-равно, что сказать, что масса и вес - это одно и тоже. 

Рассчитывается мат ожидание выигрыша следующим образом. Допустим, мы играем в рулетку. Вероятность выпадения нашего номера - 1 из 38. Наша ставка - 100 рублей. Потенциальный выигрыш - 3600 рублей. Умножаем 3600 рублей на 1/38, получаем примерно 95 рублей (чуть меньше). Из 95 рублей вычитаем стоимость участия (100 р) и получаем минус 5 рублей. Мат ожидание выигрыша в рулетку - минус 5 рублей. Это значит, играть не выгодно.

Для лотерей расчет чуток сложнее, но, тоже далеко не высшая математика. Допустим, мы играем в лотерею, где нужно угадать 5 шаров. Призы бывают за 3 угаданных шара, 4 и 5. Притом за 5 - джекпот. Вероятность выигрыша джекпота - 1 к миллиону. Вероятность угадать 4 шара - 1 к 10 000. Вероятность угадать 3 шара - 1 к 100. Средний выигрыш за 3 шара - 500 рублей. За 4 шара - 100 000 рублей. Джекпот - 20 миллионов рублей. Умножаем 20 миллионов на 1/1000000, получаем 20 рублей. Умножаем 100 000 на 1/10 000, получаем 10 рублей. И умножаем 500 на 1/100 и получаем 5. Потом все это складываем и получаем 35 рублей. Теперь, из этого нужно вычесть цену билета. Таким образом, если цена билета у нас меньше 35 рублей - мат. ожидание выигрыша больше нуля и играть выгодно. Если цена билета больше 35 рублей - мат. ожидание отрицательное и играть не выгодно.

Это все,  конечно, довольно упрощенно. В реальной жизни есть много вещей (например налоги) на которые нужно корректировать расчеты. Но в целом все вот так. Если вы играете в лотерею - для вас именно мат ожидание должно быть ключевым показателем. Ибо, если оно положительное (такое, правда, бывает крайне редко) - на длинном плече вы играете в плюс. Хоть на коротком может быть минус.