Квадратура круга⁠⁠

Около 450 в. до н. э. греческий философ Анаксагор из Клазомен сидел в тюрьме за отрицание божественности Солнца (он считал, что это просто раскалённый кусок скалы). От нечего делать он задумался, можно ли при помощи циркуля и линейки по заданному кругу построить квадрат той же площади. Увы, никто на это ответа дать не мог.

Задача по сути сводится к тому, можно ли при помощи циркуля и линейки построить отрезок длиной π. Лишь в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число π является трансцендентным, то есть его нельзя получить путём основных алгебраических операций над целыми числами за конечное число шагов. Тем самым дав ответ "нет" на задачу Анаксагора.

И вроде бы вопрос был закрыт, но тут в 1925 году пришёл Тарский и сказал: а что если не использовать циркуль с линейкой, а просто разрезать круг на конечное число частей и потом из них сложить квадрат? Слабо? Он тогда ещё не знал, что таким способом можно вообще–то шары удваивать.

В 1964 г. вышла работа, которая показала, что увы, одними ножницами тут тоже не обойтись. Если такое разбиение и возможно, то части должны быть более сложной, фрактальной формы.

Но нашлись и те, кому не слабо. Первых успехов добился венгерский математик Миклош Лацкович. В 1990 г. он доказал, что да, такое разбиение возможно! Нужно всего–то 1050 кусочков замысловатой формы. И их даже не придётся крутить, просто передвинуть на новое место. Но он не смог показать, как выглядят эти кусочки. И вообще на самом деле решал эквивалентную задачу в теории графов, а не на плоскости. Это называется неконструктивное доказательство — я знаю, что решение есть, но какое именно — не могу сказать.

Первое конструктивное доказательство появилось в 2016 году. Точнее почти конструктивное. Кусочки понятной формы у них заполняют почти весь квадрат, но всё–таки не весь. Остаётся мизерная часть, которая даже не имеет площади и носит название "множество нулевой размерности". В общем, вероятно, отдельные точки остались незакрашенными.

Но через год удалось закрыть и этот пробел и покрыть весь квадрат конструктивными кусочками. На сей раз их потребовалось 10200 штук. Зато в работе чётко описано, как их построить. Красота! Однако, опять не совсем. Хоть кусочки и чётко описаны математически, их очень сложно визуализировать.

И вот две недели назад удалось справиться и с этой проблемой. Кусочков по прежнему 10200, но зато их можно нарисовать. Наслаждайтесь.

Авторы полагают, что количество кусочков в будущем удастся уменьшить, и весьма существенно. Есть подозрения, что 22 частей должно быть достаточно. Но пока это только гипотеза. Ещё есть куда стремиться.

P. S. По мотивам статьи в Quanta Magazine.

источник/автор