Четыре самых часто встречавшихся мне математических заблуждения
Раз уж я зарегистрировался, то попробую не только комментарии писать.
Заблуждение 1
"Лобачевский доказал, что параллельные пересекаются".
На самом деле
Параллельными и у Евклида, и у Лобачевского по определению называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Поэтому параллельные прямые не пересекаются ни у Евклида, ни у Лобачевского. У Римана тоже не пересекались бы, но их там нет - в геометрии Римана пересекаются любые две прямые.
Откуда это пошло
Скорее всего, это искажённая формулировка "в геометрии Лобачевского две прямые, порознь параллельные третьей, могут пересекаться".
В геометрии Лобачевского через точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две различные прямые, параллельные данной. Поэтому у Евклида две прямые, порознь параллельные третьей, обязательно параллельны сами. У Лобачевского это не так: две прямые, порознь параллельные третьей, могут пересекаться - хотя, разумеется, не обязаны это делать.
Заблуждение 2
Если вероятность события равна 0, событие невозможное. Если вероятность события равна 1, событие достоверное.
На самом деле
Определение достоверного и невозможного событий никак не связаны с вероятностью. Событие достоверно не тогда, когда его вероятность равна 1, а тогда, когда никаких других вариантов нет, и событие обязательно произойдёт. Аналогично, событие является невозможным тогда, когда оно ни при каких условиях не может произойти. Вероятность любого достоверного события в самом деле равна 1, но не любое событие с вероятностью 1 достоверно. Аналогично с невозможным событием.
Вот пример события, имеющего вероятность 0, но не являющегося невозможным.
У нас есть игральная кость. Мы будем подбрасывать её до выпадения первой шестёрки. Как только выпадет шестёрка, мы остановимся.
Искомое событие - "в ходе эксперимента шестёрка так и не выпадет, и мы не остановимся никогда". Оно возможно: на каждом броске шестёрка может не выпасть, значит, она может не выпасть никогда. Но вероятность этого события меньше любого наперёд заданного положительного числа - значит, она равна 0.
Пример события вероятности 1, не являющегося достоверным, придумайте сами.
Откуда это пошло
Люди плохо различают прямые и обратные утверждения и временами видят эквивалентность там, где её на самом деле нет. Вероятно, это именно такой случай.
Заблуждение 3
"Вероятность этого стремится к нулю!"
На самом деле
По определению, вероятность любого события - это число от 0 до 1 включительно. Это не последовательность и не функция какого-либо аргумента, поэтому она не может никуда стремиться. Она может быть очень мала, может быть даже равна нулю - но стремиться куда-то могут только функции (при изменении аргумента) или их частный случай, последовательности (при возрастании номера). Не числа.
Более того, выражение "x стремится к A" в математике само по себе не имеет смысла. Смысл имеет только полная формула: "y(x) стремится к А при x стремящемся к B".
Откуда это пошло
Теория вещественных чисел, а уж тем более теория пределов - очень сложные области. Многим людям не хватает способности их почувствовать. При этом выражение "стремится к нулю" красивое, и людям кажется, что "величина стремится к 0" - просто красивый способ сказать "величина очень мала".
Заблуждение 4
Если 1 разделить на 0, то результат равен бесконечности.
На самом деле
Здесь сразу две ошибки. Во-первых, операция деления на 0 не имеет смысла, поэтому у такого "деления" нет никакого результата. Во-вторых, символ "бесконечность" не является числом и поэтому не может являться результатом какой бы то ни было аримфметической операции.
Для знатоков подчеркну, что неархимедов анализ не спасёт: в поле гипердействительных чисел по-прежнему нельзя делить на 0.
Откуда это пошло
Вероятно, из записи пределов, означающих неограниченный рост. Люди видят запись "предел равен бесконечности" и начинают использовать этот символ так, как его нельзя использовать.
