Ваза Клейна.
Мечта средневекового алхимика - это мистический совершенный герметичный сосуд, где внешнее переходит во внутреннее и внутреннее во внешнее, который содержит сам себя и переходит сам в себя, у которого внутреннее и внешнее пародоксально едино ...
Всё это чем-то напоминает змею, свернувшуюся в кольцо и заглатывающую свой собственный хвост ...
О чем же мы? Где здесь "физика"?
Трудно сказать, для кого больше предназначена эта заметка, для физиков или для математиков ....
Но существует такой пародоксальный объект, как "бутылка Клейна", и поражает он своей необычностью всех!
Впервые упоминание о нем появилось в 1882 году, а автором был немецкий математик Феликс Клейн, создатель нового направления в геометрии.
С точки зрения математики "бутылка Клейна" - это замкнутая (т.е. без края) односторонняя поверхность.
А с точки зрения физики?
Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности?
Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что напрочь отсутствует в четырехмерном измерении.
Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении!
А приблизительно?
Допустим у нас есть бутылка с очень длинным горлом, в стенке и в донышке бутылки есть небольшие отверстия, соответствующие размеру горлышка. Берем бутылку за горло, изгибаем его, пропускаем вплотную через боковое отверстие, дотягиваемся горлышком до отверстия в дне бутылки и совмещаем их. Вот и получилось!
Где - начало, где - конец? - сказать невозможно ...
У такой бутылки нет края, и ее поверхности нельзя разделить на внешнюю (наружную) и внутреннюю!
Помните картинку с изображением ленты Мебиуса и ползущих по ней муравьев?
Путешествие того же муравья по поверхности бутылки Клейна тоже превратится в бесконечность! Ему не придется переходить с внешней стороны бутылки на внутреннюю - она единственная! И это будет справедливо и для теоретической, и для стеклянной "бутылки Клейна".
Если рассечь бутылку вдоль вертикальной оси симметрии, то мы получим две ленты Мебиуса.
Но, интересно, что с помощью одного замкнутого разреза бутылку Клейна можно превратить даже всего лишь в один лист Мебиуса!
А здесь наглядная 3D-модель бутылки Клейна!
Аналог "бутылки Клейна" для трехмерного измерения можно изготовить в реальности. На прилавках сувенирных магазинов встречаются , например, стеклянные бутылки Клейна разных размеров, изготовленные умельцами-стеклодувами.
Есть сувенирные бутылки Клейна в виде графина для вина, только вот пользоваться ими достаточно трудно. Их трудно наполнять, т.к. жидкость создает дополнительное давление на воздух внутри, а ему некуда деваться ... С выливанием жидкости тоже много проблем. Но"плюс" - это то, что жидкость в бутылке Клейна не испаряется. Однако, стенки изнутри практически невозможно очистить ...
Так что, хотите - пользуйтесь, хотите - ставьте на витрину!
P.S. для тех, кто вяжет:
Рукодельницы вяжут шапочки "а ля бутылка Клейн". По конструкции они не отличаются от приведенных выше стеклянных моделей! Попробуем?
Беда в том, что двумерная проекция трёхмерной модели четырехмерного объекта - это немножко нелепо. И многие (чую, что и ТС) не просекают, как получается одна неделимая поверхность, если тупо горлышко проходит через бок.
А разгадка одна -
безблаготочка, в которой пересекается горлышко, и точка в которой пересекается стенка, находятся в одинаковых координатах трёх измерений, но смещены друг от друга в четвертом. То есть фактически они не пересекаются, в итоге на двумерной развертке имеем замкнутую на себя плоскость, в трехмерной - замкнутую поверхность, у которой при этом нет внутреннего объёма. Построить достоверную трехмерную модель бутылки Клейна с выполнением факта непересечения невозможно.Всякие модельки, куда "налить можно, вылить трудно" - это скорее извращение на тему реверсивного пифагорова сосуда, нежели чем.
ваза, бл... всю жизнь была БУТЫЛКА Клейна.